51Nod 1085背包问题(dp)

思路解析:

背包问题其实可以归结为在多段图的有向无环图（DAG)上从规定的起点到终点之间寻找权值之和最长的一条路径（权值全部都为正）。
从起点开始进入下一阶段的结点有若干个，而此阶段的结点均可以到达下一阶段的各个结点（可能是一对一，也有可能是一对多的情况），我们所要做的便是用状态转移方程获得当前阶段的结点进入下一阶段所能得到的解的最优值。这样每一阶段都只由上一阶段决定。
所以此种问题需采用动态规划的思想。
即：让每一阶段只只由上一个阶段所决定，否则每次都要从起点一直判断到目标结点需要耗费大量的时间。

题目分析:

每一件物品即为一个阶段，用i表示。
而当前阶段背包的容量即为结点，用j表示。
状态转移方程: d(i,j) = max( d(i,j), d(i-1,j-w[i]) + v[i] ).
答案为：d[n][m]。
意思则是 从i-1阶段的j-v[i]的结点走到第i阶段的结点j，加上两点之间边的权值。
d(i.j)初始化为d(i-1,j)，此条边权值为0。

还有一种状态转移方程: d(i,j) = max( d(i,j), d(i+1, j-w[i]) + v[i] )
答案为： d[0][m]。（如果输入
仅仅是寻找的方向不同。第一种是从终点到起点，第二种是从起点到终点。相应的结果对应的d[i][j]也不同 ，这两种方法是对称的。
具体代码：

终点到起点

#include <set>#include <numeric>#include <cmath>#include <queue>#include <stack>#include <vector>#include <string>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#include <cctype>#include <string>#include <sstream>#include <map>#include <functional>using namespace std;typedef long long LL;#define REP(idx1,num1) for(int idx1=0;idx1<(num1);idx1++)#define pb push_back#define empb emplace_back#define mp make_pairint d[110][10010];int main(){    int  n,m;//物品数，背包容量    scanf("%d%d",&n,&m);    int w[110],v[110];//重量，价值    for(int i = 1; i <= n; ++i)        scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);        d[0][0] = 0;    for(int i = 1; i <= n; ++i)        for(int j = 0; j <= m; ++j)        {            d[i][j] = d[i-1][j];//!!!!!!!!不能等于0            if(j >= w[i])                d[i][j] = max(d[i][j],d[i-1][j-w[i]]+v[i]);        }    printf("%d\n",d[n][m]);    return 0;}

起点到终点：

#include <set>#include <numeric>#include <cmath>#include <queue>#include <stack>#include <vector>#include <string>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#include <cctype>#include <string>#include <sstream>#include <map>#include <functional>using namespace std;typedef long long LL;#define REP(idx1,num1) for(int idx1=0;idx1<(num1);idx1++)#define pb push_back#define empb emplace_back#define mp make_pairint d[110][10010];int main(){    int  n,m;    scanf("%d%d",&n,&m);    int w[110],v[110];    for(int i = 0; i < n; ++i)        scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);    for(int i = 0; i <= m; ++i)    {        d[n][i] = 0;    }    for(int i = n-1; i >= 0; i--)        for(int j = 0; j <= m; ++j)        {            d[i][j] = d[i+1][j];//!!!!!!!!不能等于0            if(j >= w[i])                d[i][j] = max(d[i][j],d[i+1][j-w[i]]+v[i]);        }    printf("%d\n",d[0][m]);    return 0;}