NOI 2002 机器人M号 欧拉函数

NKOJ3804 机器人 M 号

问题描述

3030 年，Macsy正在火星部署一批机器人。
第 1 秒，他把机器人 1 号运到了火星，机器人 1 号可以制造其他的机器人。
第 2 秒，机器人 1 号造出了第一个机器人——机器人 2 号。
第 3 秒，机器人 1 号造出了另一个机器人——机器人 3 号。
之后每一秒，机器人 1 号都可以造出一个新的机器人。
第 m 秒 造 出的机器人 编号为 m。我们可以称它为机器人 m号，或者 m 号机器人。
机器人造出来后，马上开始工作。m 号机器人，每 m 秒会休息一次。比如 3 号机器人，会在第 6，9，12，……秒休息，而其它时间都在工作。
机器人休息时，它的记忆将会被移植到当时出生的机器人的脑中。比如 6 号 机器人出生时，2，3 号机器人正在休息，因此，6 号机器人会收到第 2，3 号机 器人的记忆副本。我们称第 2，3 号机器人是 6 号机器人的老师。
如果两个机器人没有师徒关系，且没有共同的老师，则称这两个机器人的知 识是互相独立的。
注意： 1 号机器人与其他所有机器人的知识独立（因为只有 1 号才会造机器人 ），它也不是任何机器人的老师。
一个机器人的 独立数 ，是指所有编号比它小且与它知识互相独立的机器人的 个数。比如 1 号机器人的 独立数 为 0，2 号机器人的 独立数 为 1（1 号机器人与它 知识互相独立），6 号机器人的 独立数 为 2（1，5 号机器人与它知识互相独立，2， 3 号机器人都是它的老师，而 4 号机器人与它有共同的老师——2 号机器人）。
新造出来的机器人有 3 种不同的职业。对于编号为 m 的机器人，如果能把 m 分解成偶数个不同奇素数的积，则它是政客，例如编号 15；否则，如果 m 本身 就是奇素数或者能把 m 分解成奇数个不同奇素数的积，则它是军人，例如编号 3, 编号 165。其它编号的机器人都是学者，例如编号 2, 编号 6, 编号 9。
第 m 秒诞生的机器人 m 号，想知道它和它的老师中，所有政客的 独立数 之 和，所有军人的 独立数 之和，以及所有学者的 独立数 之和。可机器人 m 号忙于 工作没时间计算，你能够帮助它吗？
为了方便你的计算，Macsy已经帮你做了 m 的素因子分解。为了输出方便， 只要求输出总和除以 10000 的余数。

输入格式

第一行是一个正整数 k(1<=k<=1000)，k 是 m 的不同的 素因子个数。
以下k行，每行两个整数， pi, ei,表示m的第i个素因子和它的指数(i = 1, 2, …, k)。
p1, p2, …, pk是不同的素数，。
所有素因子按照从小到大排列，即 p1 < p2 < …< pk。
2<=pi<10,000, 1<=ei<=1,000,000。

输出格式

包括三行。
第一行是机器人 m 号和它的老师中，所有政客的 独立数 之和除以 10000 的余 数。
第二行是机器人 m 号和它的老师中，所有军人的 独立数 之和除以 10000 的余 数。
第三行是机器人 m 号和它的老师中，所有学者的 独立数 之和除以 10000 的余 数。

样例输入

3
2 1
3 2
5 1

样例输出

8
6
75

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挺不错的一道欧拉函数复习题。

首先把题目条件翻译一下：

给出一个数M的标准分解，现在求数M的因数当中：
(1)能被分解为奇数个奇素数相乘的数的欧拉函数值之和；
(2)能被分解为偶数个奇素数的数的欧拉函数值之和；
(3)除(1),(2)以外所有因数的欧拉函数之和（不含1）

对于（1）和（2），注意到乘上一个奇质数能使（1）（2）互相转化，不妨用f[i][0]表示讨论到第i个数时满足（2）的答案，f[i][1]表示讨论到第i个数时满足（1）的答案。考虑两种情况的递推关系。

这里要用到欧拉函数的一个性质:欧拉函数是积性函数，既当gcd(a,b)=1时，有ϕ(a)×ϕ(b)=ϕ(a×b)

根据这个容易得到递推式：

f[i][0]=f[i−1][1]×(p[i]−1)+f[i−1][0]
f[i][1]=f[i−1][0]×(p[i]−1)+f[i−1][1]
(欧拉函数的性质，当p为素数时，ϕ(p)=p−1)

这样前两个问题都被解决了，考虑第三个问题。这又要用到欧拉函数的一个性质：

n=∑d|nϕ(d)

这样第三个问题就可以解决了，注意不含1。

代码：

#include<stdio.h>#define MAXK 1005int K,p[MAXK],e[MAXK],f[MAXK][2],M=1;const int mod=10000;int ksm(int a,int b){    int ans=1;    while(b)    {        if(b&1)ans=ans*a%mod;        b>>=1;a=a*a%mod;    }    return ans;}int main(){    int i;    scanf("%d",&K);    for(i=1;i<=K;i++)scanf("%d%d",&p[i],&e[i]);    f[0][0]=1;    if(p[1]==2)f[1][0]=1;    else f[1][1]=p[i]-1;    for(i=1;i<=K;i++)    {        if(p[i]==2)continue;        f[i][0]=(f[i-1][1]*(p[i]-1)%mod+f[i-1][0])%mod,f[i][1]=(f[i-1][0]*(p[i]-1)%mod+f[i-1][1])%mod;    }    for(i=1;i<=K;i++)M=M*ksm(p[i],e[i])%mod;    M=((M-f[K][0]-f[K][1])%mod+mod)%mod;    printf("%d\n%d\n%d",f[K][0]-1,f[K][1],M);}