[高等数学]不定积分

不定积分的概念和性质

原函数与不定积分的概念

1. 如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对在任一x∈I，都有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)（或f(x)dx）在区间I上的原函数。如sinx是cosx的一个原函数
2. 原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有
   F′(x)=f(x)
   ，简单地说就是：连续函数一定有原函数
3. 对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数，即如果f(x)有一个原函数，那么f(x)就有无限多个原函数。所以函数f(x)的任意两个原函数的差值为一个常数C0
4. 在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)（或f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作
   ∫f(x)dx
   ，其中记号∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量
5. 不定积分∫f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数
6. 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线

基本积分表

1. ∫kdx=kx+C(k是常数)
2. ∫xμdx=xμ+1μ+1+C(μ≠−1)
3. ∫dxx=ln|x|+C
4. ∫dx1+x2=arctanx+C
5. ∫dx1−x2√=arcsinx+C
6. ∫cosxdx=sinx+C
7. ∫sinxdx=−cosx+C
8. ∫dxcos2x=∫sec2xdx=tanx+C
9. ∫dxsin2x=∫csc2xdx=−cotx+C
10. ∫secxtanxdx=secx+C
11. ∫cscxcotxdx=−cscx+C
12. ∫exdx=ex+C
13. ∫axdx=axlna+C

不定积分的性质

1. 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则
   ∫[f(x)+f(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
2. 设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则
   ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

换元积分法

利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法

第一类换元法

1. 设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：
   ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)
2. ∫F′(x)dx记作∫dF(x)，就是按微分F′(x)dx=dF(x)，把被积表达式F′(x)dx记作dF(x)
3. 对于积分∫f(ax+b)dx，总可作变换u=ax+b，把它化为∫f(ax+b)dx=∫1af(ax+b)d(ax+b)=1a[∫f(u)du]u=ax+b

第二类换元法

1. 适当的选择变量代换x=ψ(t)，将积分∫f(x)dx化为积分∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt，这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为：
   ∫f(x)dx=∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt
2. 设x=ψ(t)是单调的、可导的函数，并且ψ′(t)≠0。又设f[ψ(t)]ψ′(t)具有原函数，则有换元公式
   ∫f(x)dx=[∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt]t=ψ−1(x)
   ，其中ψ−1(x)是x=ψ(t)的反函数

分部积分法

设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，那么，两个函数乘积的导数公式为：

(uv)′=u′v+uv′

，移项得：

uv′=(uv)′−u′v

，对这个等式两边求不定积分，得：

∫uv′dx=uv−∫u′vdx（1）

，公式（1）称为分部积分公式。公式（1）也可写作：

∫udv=uv−∫vdu

有理函数的积分

有理函数的积分

1. 两个多项式的商P(x)Q(x)称为有理函数，又称为有理分式。当分子多项式P(x)的次数小于分母多项式Q(x)的次数时，称这有理函数为真分式，否则称为假分式
2. 将真分式化为部分分式之和，直到有理函数的分解式中只出现多项式、P1(x)(x−a)k、P2(x)(x2+px+q)l等三类函数

可化为有理函数的积分举例

如

∫x+1x2−5x+6dx=∫(4x−3−3x−2)dx