矩阵乘法

官方定义

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义[1] 。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。（来自百度百科）

定义

设A为 m*p的矩阵，B为p*n的矩阵，那么称m*n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=A*B,其中矩阵C中的第 i 行第 j 列元素可以表示为：

如下所示:

注意事项

当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A与B可以相乘。

1. 矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。
2. 乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

基本性质

1. 乘法结合律： (AB)C=A(BC)．
2. 乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC
3. 乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB
4. 对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）．
5. 转置 (AB)^T=B^T*A^T．
6. 矩阵乘法一般不满足交换律[3] 。

Hadamard乘积

m*n矩阵 A=a[i,j] 与 m*n 矩阵B=b[i,j] 的Hadamard积记为 A*B 。其元素定义为两个矩阵对应元素的乘积 (A*B)i,j=a[i,j]*b[i,j] 的m×n矩阵 。例如，

Kronecker乘积

Kronecker积是两个任意大小的矩阵间的运算，表示为 。克罗内克积也成为直积或张量积 .以德国数学家利奥波德·克罗内克命名。计算过程如下例所示：

代码（比较伪）:

struct Matrix:vector<vector<int> >//使用标准容器vector做基类，需#include语句{    Matrix(int x=0,int y=0,int z=0)//初始化，默认为0行0列空矩阵    {        assign(x,vector<int>(y,z));    }    int h_size()const//常量说明不可省，否则编译无法通过    {        return size();    }    int l_size()const    {        return empty()?0:front().size();//列数要考虑空矩阵的情况    }    Matrix pow(int k);//矩阵的k次幂，用快速幂实现，k为0时返回此矩阵的单位矩阵};Matrix operator*(const Matrix &m,const Matrix &n)//常量引用避免拷贝{    if(m.l_size()!=n.h_size())return Matrix();//非法运算返回空矩阵    Matrix ans(m.h_size(),n.l_size());    for(int i=0; i!=ans.h_size(); ++i)        for(int j=0; j!=ans.l_size(); ++j)            for(int k=0; k!=m.l_size(); ++k)                ans[i][j]+=m[i][k]*n[k][j];    return ans;}Matrix Matrix::pow(int k){    if(k==0)    {        Matrix ans(h_size(),h_size());        for(int i=0; i!=ans.h_size(); ++i)            ans[i][i]=1;        return ans;    }    if(k==2)return (*this)*(*this);    if(k%2)return pow(k-1)*(*this);    return pow(k/2).pow(2);}

矩阵乘法noip还没有考过 但是十分实用
如斐波那契数列也可以用矩乘来做 希望大家掌握一下！！