JZOJsenior3476.【NOIP2013初赛】整除

problem

Description

给出n个数a1,a2……an,求区间[L,R]中有多少个整数不能被其中任何一个数整除。

Input

第一行三个正整数,n,L,R。

第二行n个正整数a1,a2……an

Output

一个数，即区间[L,R]中有多少个整数不能被其中任何一个数整除。

Sample Input

2 1 1000

10 15

Sample Output

867

Data Constraint

对于30%的数据，1<=n<=10,1<=L,R<=1000

对于100%的数据，1<=n<=18,1<=L,R<=10^9

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analysis

设ans(x)表示1~x中有多少个整数不能被a1,a2……an其中任何一个数整除的个数
这种题目的套路是一样的，都是求ans(r)−ans(l−1)，于是考虑怎么求ans

通过容斥原理我们知道，1~n中能被x整除的数个数是⌊n/x⌋ ，能被y整除的数的个数是⌊n/y⌋，而能被(x,y)整除的数的个数是 ⌊n/(x,y)⌋
所以对于x和y两个数而言，ans(n)=n−(⌊n/x⌋+⌊n/y⌋−⌊n/(x,y)⌋)

如果再还有一个约数z呢？那么——
ans(n)=n−(⌊n/x⌋+⌊n/y⌋+⌊n/z⌋−⌊n/(x,y)⌋−⌊n/(x,z)⌋−⌊n/(y,z)⌋+⌊n/(x,y,z)⌋)

所以，我们使用dfs把所有约数组合的情况搞出来
若所有已选的约数个数为奇数ans就减所有数的lcm，否则ans就加上lcm

总体时间复杂度为O(2∗2n))（因为需要用两次递归）

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code

#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;int a[20];int n,l,r,ans;int gcd(int x,int y){     return x%y==0?y:gcd(y,x%y);}inline void dfs(int m,int lcm,int v){     if (m>n)     {        ans+=v/lcm;        return;     }     dfs(m+1,lcm,v);     long long t=-1ll*a[m]/gcd(abs(lcm),a[m])*lcm;     if(abs(t)<=v)dfs(m+1,t,v);}int solve(int x){    ans=0;    dfs(1,1,x);    return ans;}int main(){    scanf("%d%d%d",&n,&l,&r);    for(int i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%d",&a[i]);    }    printf("%d",solve(r)-solve(l-1));    return 0;}