Ural 1087|The Time to Take Stones|博弈论|动态规划

http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1087

题目

你应该知道一种游戏，2个玩家轮流从一堆石子中取走1到3个石子。最后一个取走石子的人输。我们泛化这个游戏的条件。假设玩家可以从石子堆中一次取走k1,k2,⋯,km个石子。假设比赛双方都很聪明，每一步的选择和之前的选择没有关系。

输入

第一行2个整数n,m(1≤n≤10000,1≤m≤50)，表示初始石头的总数

输出

如果先手赢输出1，后手赢输出2。

样例输入

17 31 3 4

样例输出

2

题解

题目的最后一句话暗示我们采用动态规划。
如果最后只剩1个石子留给先手，那么先手必输，没有赢的可能。如果只剩2个石子留给先手，那么先手可以只取1个石子，只剩1个石子给后手，后手必输，没有赢的可能。也就是说，取走一次石子后剩下的石子对于准备取石子的人是赢还是输是不分先手后手的，因此令fi表示剩下i个石子时，当前这一方（不管哪一方）是必赢还是必输。
那么对于fi，如果取走kj个石子，那么问题就转化为fi−kj了，如果fi−kj为必输，也就是我们这一方取完石子后，另一方必输的话，当然我们就必赢了（因为当前情况我们取多少石子是我们说的算的，我们有机会将比赛转为对方必输的状态，那就一定可以让对方输），即fi为必胜态。如果不存在这样的一个fi−kj必输，那么fi就是必输态（无论我们采取什么操作，对方都一定获胜）。

也就是说采取最佳策略，就是我们存在一种选择，可以让对方必输，我们就必赢。这是博弈论基本的道理。

#include <cstdio>#define FOR(i,j,k) for(i=j;i<=k;++i)int f[16384], k[64];int main(){    int i, j, m, n;    scanf("%d%d", &n, &m);    FOR(i,1,m) scanf("%d", &k[i]);    FOR(i,2,n) FOR(j,1,m)        if (i > k[j] && !f[i - k[j]]) {            f[i] = 1;            break;        }    printf("%d\n", f[n] ? 1 : 2);    return 0;}