二分查找算法

来源：互联网发布：平板淘宝怎么开店编辑：程序博客网时间：2024/06/18 14:23

1.必须针对有序数组

2.查找时间为logn

3.如何取中间值以及边界判断

二分查找又称折半查找，它是一种效率较高的查找方法。

折半查找的算法思想是将数列按有序化(递增或递减)排列，查找过程中采用跳跃式方式查找，即先以有序数列的中点位置为比较对象，如果要找的元素值小于该中点元素，则将待查序列缩小为左半部分，否则为右半部分。通过一次比较，将查找区间缩小一半。折半查找是一种高效的查找方法。它可以明显减少比较次数，提高查找效率。但是，折半查找的先决条件是查找表中的数据元素必须有序。

折半查找法的优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好;其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。

二分算法步骤描述
① 首先确定整个查找区间的中间位置 mid = （ left + right ）/ 2
② 用待查关键字值与中间位置的关键字值进行比较；
若相等，则查找成功
若大于，则在后（右）半个区域继续进行折半查找
若小于，则在前（左）半个区域继续进行折半查找
③ 对确定的缩小区域再按折半公式，重复上述步骤。
最后，得到结果：要么查找成功，要么查找失败。折半查找的存储结构采用一维数组存放。折半查找算法举例
对给定数列（有序）{ 3,5,11,17,21,23,28,30,32,50,64,78,81,95,101}，按折半查找算法，查找关键字值为81的数据元素。

二分查找算法讨论：
优点：ASL≤log2n，即每经过一次比较,查找范围就缩小一半。经log2n 次计较就可以完成查找过程。
缺点：因要求有序，所以要求查找数列必须有序，而对所有数据元素按大小排序是非常费时的操作。另外，顺序存储结构的插入、删除操作不便利。
考虑：能否通过一次比较抛弃更多的部分（即经过一次比较，使查找范围缩得更小），以达到提高效率的目的。
可以考虑把两种方法（顺序查找和折半查找）结合起来，即取顺序查找简单和折半查找高效之所长，来达到提高效率的目的？实际上这就是分块查找的算法思想。

转载自http://blog.csdn.net/yefengzhichen/article/details/52372407#comments

三种基本版本：

1.1 二分查找原始版--查找某个数的下标（任意一个）

在有序数组中查找某个数，找到返回数的下标，存在多个返回任意一个即可，没有返回-1。所有程序采用左右均为闭区间，即函数中n为最后一个元素下标，而不是元素个数。典型代码如下：

[java] view plain copy
 print?
public int binarySearch(int[] a, int n, int key){  
        //n + 1 个数  
        int low = 0;  
        int high = n;  
        int mid = 0;  
        while(low <= high) {  
            mid = low + ((high-low) >> 1);  
            if(key == a[mid]) {  
                return mid;  
            } else if(key < a[mid]) {  
                high = mid - 1;  
            } else {  
                low = mid + 1;  
            }  
        }  
        return -1;  
    }  

1.2 查找第一个大于等于某个数的下标

例：int[] a = {1,2,2,2,4,8,10}，查找2，返回第一个2的下标1；查找3，返回4的下标4；查找4，返回4的下标4。如果没有大于等于key的元素，返回-1。

下面是代码，改动只有两处：

[java] view plain copy
 print?
public int firstGreatOrEqual(int[] a, int n, int key){  
        //n + 1 个数  
        int low = 0;  
        int high = n;  
        int mid = 0;  
        while(low <= high) {  
            mid = low + ((high-low) >> 1);  
            if(key <= a[mid]) {  
                high = mid - 1;  
            } else {  
                low = mid + 1;  
            }  
        }  
        return low <= n ? low : -1;  
    }  

解释：

1、条件为key<=a[mid]，意思是key小于等于中间值，则往左半区域查找。如在 {1,2,2,2,4,8,10}查找2，第一步，low=0, high=6, 得mid=3, key <= a[3]，往下标{1,2,2}中继续查找。

2、终止前一步为: low=high，得mid = low，此时如果key <= a[mid]，则high会改变，而low指向当前元素，即为满足要求的元素。如果key > a[mid]，则low会改变，而low指向mid下一个元素。

3、如果key大于数组最后一个元素，low最后变为n+1，即没有元素大于key，需要返回 -1。

1.3 查找第一个大于某个数的下标

例：int[] a = {1,2,2,2,4,8,10}，查找2，返回4的下标4；查找3，返回4的下标4；查找4，返回8的下标5。如果没有大于key的元素，返回-1。

如下是代码，与上面大于等于某个数仅判断一个符号不同：

[java] view plain copy
 print?
public int firstGreat(int[] a, int n, int key){  
        //n + 1 个数  
        int low = 0;  
        int high = n;  
        int mid = 0;  
        while(low <= high) {  
            mid = low + ((high-low) >> 1);  
            if(key < a[mid]) {  
                high = mid - 1;  
            } else {  
                low = mid + 1;  
            }  
        }  
        return low <= n ? low : -1;  
    }  

以上原型的扩展应用

2.1 查找数组中某个数的位置的最小下标，没有返回-1

直接用上面1.2，但需要处理一下，即当返回的low位置不等于key时，也返回-1。如下：

[java] view plain copy
 print?
public int firstIndex(int[] a, int n, int key){  
        //n + 1 个数  
        int low = 0;  
        int high = n;  
        int mid = 0;  
        while(low <= high) {  
            mid = low + ((high-low) >> 1);  
            if(key <= a[mid]) {  
                high = mid - 1;  
            } else {  
                low = mid + 1;  
            }  
        }  
        return (low <= n) && (a[low] == key) ? low : -1;  
    }  

2.2 查找数组中某个数的位置的最大下标，没有返回-1

直接用上面1.3，得到的下标 - 1即可，但也需要处理一下，即不用判断low <= n，而是判断low-1>=0，且返回的low-1位置等于key时，才返回位置low - 1。如下：

[java] view plain copy
 print?
public int lastIndex(int[] a, int n, int key){  
        //n + 1 个数  
        int low = 0;  
        int high = n;  
        int mid = 0;  
        while(low <= high) {  
            mid = low + ((high-low) >> 1);  
            if(key < a[mid]) {  
                high = mid - 1;  
            } else {  
                low = mid + 1;  
            }  
        }  
        return (low - 1 >= 0 && (a[low - 1] == key))? low - 1: -1;  
    }  

2.3 查找数组中小于某个数的最大下标，没有返回-1

直接用上面1.2，返回的low-1位置即为可能的位置。也需要处理一下，需要low-1>=0。

[java] view plain copy
 print?
public int firstLess(int[] a, int n, int key) {  
        // n + 1 个数  
        int low = 0;  
        int high = n;  
        int mid = 0;  
        while (low <= high) {  
            mid = low + ((high - low) >> 1);  
            if (key <= a[mid]) {  
                high = mid - 1;  
            } else {  
                low = mid + 1;  
            }  
        }  
        return (low - 1 >= 0) ? low - 1 : -1;  
    }  

2.4 查找数组中某个数的出现次数

直接使用1.2,1.3即可，但需要修改1.2，1.3的返回条件，当low>n时，直接返回low。举例说明：int[] a = {1,2,2,2,4,8,10}，查找10的个数，根据1.2程序得到low = 6，而1.3程序返回值 = -1，不符合。因此需要将1.3得到的low = n + 1值返回即可。同理，如果查找15，此时1.2程序返回值为-1，也得改为直接返回low = n+1。

使用1.2,1.3，分别求得下界first和上界last，两个相减即(last - first)是key出现次数。如下：

[java] view plain copy
 print?
public int getCount(int[] a, int n, int key) {  
    // n + 1 个数  
    int first = firstGreatOrEqual2(a, n, key);  
    int last = firstGreat2(a, n, key);  
    return last - first;  
}  
  
public int firstGreatOrEqual2(int[] a, int n, int key) {  
    // n + 1 个数  
    int low = 0;  
    int high = n;  
    int mid = 0;  
    while (low <= high) {  
        mid = low + ((high - low) >> 1);  
        if (key <= a[mid]) {  
            high = mid - 1;  
        } else {  
            low = mid + 1;  
        }  
    }  
    return low;  
}  
  
public int firstGreat2(int[] a, int n, int key) {  
    // n + 1 个数  
    int low = 0;  
    int high = n;  
    int mid = 0;  
    while (low <= high) {  
        mid = low + ((high - low) >> 1);  
        if (key < a[mid]) {  
            high = mid - 1;  
        } else {  
            low = mid + 1;  
        }  
    }  
    return low;  
}  

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