拓展欧几里得与逆元

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前言

作为信息组众多神犇Oier中唯一的蒟蒻Oier，我终于学到了逆元（也就是神犇们看不起的很水很简单的算法），但我兴奋了一阵以后，发现了一个无奈的事实，那就是看不懂，因为神犇们的神奇思想十分的跳跃，并非我等凡人小辈可以解读的，无奈之下，只能硬着头皮慢慢读下去.皇天不负有心人，我终于混到了一个半懂不懂的水平，为了防止大家重蹈我被%神犇%的摧残经历，就打算写一篇平易近人的文章.

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欧几里得算法

先来讲一下欧几里得算法（gcd）
我们定义a,b(a>b)两数的最大公约数为gcd(a,b).则 a,b一定为gcd(a,b)的倍数
我们记做：

a=x1∗gcd(a,b)

b=x2∗gcd(a,b)

令

c=a％b=(x1−nx2)∗gcd(a,b)(x1−nx2≥0)

则c也为gcd(a,b)倍数且c<b,所以gcd(a,b)=gcd(b,c),可以以此性质递归求出gcd(a,b)的值.核心代码如下：

    int gcd ( int a , int b) { return a % b ? gcd( b , a % b ) : b ; }

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拓展欧几里得

拓展欧几里得(exgcd)，是以欧几里得递归相同的方式求解乘法逆元,同余方程的一种算法，同余方程一般写作如下形式.

ax≡gcd(a,b)（mod b）

即

ax−by=gcd(a,b)

因gcd(a,b)=gcd(a,-b),所以原式等价变化为:

ax+by=gcd(a,b)

将gcd(a,b)除过来，可得:

agcd(a,b)x+bgcd(a,b)y=1

此时x,y系数互质，即转化成，一般同余方程形式:

ax≡1(mod b)

或

ax+by=1

基于我的理解，我觉得用ax≡1(mod b)更好理解，故，接下来用此式推演.

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总结一下，此式同余方程为:

ax≡1(mod b)

我们令： k=ax % b
我们假设一组数据:a=3,b=10.
当 x=1时，k=（a∗1） % b=3
当 x=2时，k=（a∗2） % b=6
当 x=3时，k=（a∗3） % b=(9 % b)=9
当 x=4时，k=（a∗4） % b=(12 % b)=2
当 x=5时，k=（a∗5） % b=(15 % b)=5
当 x=6时，k=（a∗6） % b=(18 % b)=8
当 x=7时，k=（a∗7） % b=(21 % b)=1

当我们提出里边几个式子，即可看出规律：

当 x=1时，k=（a∗1） % b=(3  % b)=3
当 x=4时，k=（a∗4） % b=(12 % b)=2
当 x=7时，k=（a∗7） % b=(21 % b)=1
x每增加floor(ba)时,k减小（a % b)
所以x增加floor(ba)次数为：

ay1−(a % b)y2=1

时y2的最小解.
即为同余方程

(a % b)x≡1(mod a)

的最小解.
所以可以依次性质递归下去求解同余方程.
我们令形如：

ax≡1(mod b)

的最小解为 exgcd(a,b);

exgcd(a,b)=a−exgcd(b,a%b)∗(ab)

即可用此算法求解同余方程，代码如下：

    int x,y    void exgcd(int a,int b){        if(b==0){            x=1;y=0;            return ;        }        exgcd(b,a%b);        int k=x;        x=y;        y=k-(a/b)*y;        return ;    }