乘法逆元与扩展欧几里得

逆元的定义

满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。

如何求k值

（a，p互质）

可以将a*k≡1 (mod p)转化为a*k+b*p=1即ax+by=d=gcd(a,b)

ax+by=d=gcd(a,b)

(1)如果b=0即ax=a,则ax=a;x=1,y取任意值，为了简单y=0

(2)如果b!=0即a'=b,b'=a%b;gcd(a',b')=d,a'x'+b'y'=d

由于b'=a%b=a-a/b*b

a'x'+b'y'=bx'+(a-a/b*b)y'=ay'+b(x'-a/by')=d

x=y';y=x'-a/b*y'

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){    if(b==0){        x=1;y=0;        return a;   }   int r=exgcd(b,a%b,x,y);   int t=x;   x=y;y=t-a/b*y;   return r;}

这就是欧几里得扩展，用它可以求出逆元。

转了一大圈，求逆元有什么用，为什么要有乘法逆元呢？
当我们要求（a/b） mod p的值，且a很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p，即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。

证明如下：

b*k≡1 (mod p)  b*k=p*x+1,k=(p*x+1)/b

a*k%p=(a*(p*x+1)/b)%p=(a/b+p*x*a/b)%p=(a/b)%p+(p*a*x/b)%p=(a/b)%p

因为a%b==0 p*a*x%b=0;