洛谷P1092 虫食算（回溯法）

题目描述

所谓虫食算，就是原先的算式中有一部分被虫子啃掉了，需要我们根据剩下的数字来判定被啃掉的字母。来看一个简单的例子：
http://paste.ubuntu.com/25448822/
其中#号代表被虫子啃掉的数字。根据算式，我们很容易判断：第一行的两个数字分别是5和3，第二行的数字是5。
现在，我们对问题做两个限制：
首先，我们只考虑加法的虫食算。这里的加法是N进制加法，算式中三个数都有N位，允许有前导的0。
其次，虫子把所有的数都啃光了，我们只知道哪些数字是相同的，我们将相同的数字用相同的字母表示，不同的数字用不同的字母表示。如果这个算式是N进制的，我们就取英文字母表午的前N个大写字母来表示这个算式中的0到N-1这N个不同的数字：但是这N个字母并不一定顺序地代表0到N-1)。输入数据保证N个字母分别至少出现一次。
http://paste.ubuntu.com/25448824/
上面的算式是一个4进制的算式。很显然，我们只要让ABCD分别代表0123，便可以让这个式子成立了。你的任务是，对于给定的N进制加法算式，求出N个不同的字母分别代表的数字，使得该加法算式成立。输入数据保证有且仅有一组解

输入输出格式

输入格式：

包含四行。第一行有一个正整数N(N<=26)，后面的3行每行有一个由大写字母组成的字符串，分别代表两个加数以及和。这3个字符串左右两端都没有空格，从高位到低位，并且恰好有N位。

输出格式：

包含一行。在这一行中，应当包含唯一的那组解。解是这样表示的：输出N个数字，分别表示A，B，C……所代表的数字，相邻的两个数字用一个空格隔开，不能有多余的空格。

输入输出样例

输入样例：

5
ABCED
BDACE
EBBAA

输出样例：

1 0 3 4 2

说明

对于30％的数据，保证有N<＝10；
对于50％的数据，保证有N<＝15；
对于全部的数据，保证有N<＝26。
noip2004提高组第4题

解题分析

基本思路是用回溯法对每一个字母进行枚举（0到n-1）,但如不进行剪枝和优化，则肯定有测试用例超时（复杂度O(n!)）。
题目分析：共有n个不同的字母，每个字母表示不同的数字（0到n-1）；a, b, c的长度相同，因此最高位没有进位。
可以进行如下剪枝和优化：
1、与手工计算加法的方法一样，从个位数开始搜索。为了方便起见，开始先将三个字符串逆序。
2、对每一个字母枚举的顺序为从n-1到0，因为最高位没有进位，这样搜索可以更快地得到结果。
3、在枚举字母时，按照从低位到高位第一次出现的字母的次序进行。这样在回溯时可以更有效率地判断是否进入下一个分支。
4、在判断可以进入下一分支前（假设已经判断到a, b, c的第i个字符），如果在i到最高位之间的某个位置j，a[j],b[j], c[j]都已确定，则判断它们是否合法，如果不合法，则不能进入下一个分支。由于不知道进位，但进位只能是0或1，因此在判断是否合法时，在(a[j]+b[j])%n和(a[j]+b[j]+1)%n这两个数中，如果都不等于c[j]，则肯定是不合法的。
5、在对一个字母进行枚举时，如果其第一次出现的在i列，但在i列的其他两个元素都已经知道，则可有由他两个元素的值和进位计算该字母应该是哪个数字，而不需要从0~n逐个枚举。在判断是否可行时，只要判断从i开始向后的各列即可（因为能到i列，说明前面i-1列都合法），由于前i-1列都合法，在判断前i-1列时可以得到每一步的进位数carry[]。要实现该优化，还必须记录每一个字母第一次出现的列数。
6、在判断是否进入下一分支前，如果判断到某列i中有2个字母已确定，则计算第三个字母（进位为carry[i-1]）的值，如果该值已经被其他字母占用，则不能进入下一分支。
7、尽量避免采用除法，因为除法的计算时间比其他运算符都要大。
8、由于a, b, c的都是n位，因此，如果最高位进位，则不能进入下一分支。
9、如果得到结果，则尽快退出回溯，可采用flag判断是否已得到结果。

10、尽量不要用STL中的容器，本来打算采用map存储字母和值之间的映射关系，但测试用例9始终TLE，改掉之后一下变为24ms，其他都为0ms。看来容器所增加的复杂度系数不容小觑。

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