编译原理(五) LL(1)文法分析法-预测分析表的构造

基本定义

• FIRST(α):
  
  • 令Ｇ是一个不含左递归的文法，对G的所有非终结符的每个候选α定义它的终结首符集FIRST(α)为：
    FIRST(α)={a | α=>*a…, a∈VT}
  • 若α=>*ε，则规定ε∈FIRST(α)
  • FIRST(α)是α的所有可能推导的开头终结符或可能的ε
  • 如果非终结符Ａ的所有候选首符集两两不相交，即Ａ的任何两个不同候选αi和αｊ
    FIRST(αi) ∩FIRST(αj)=Φ
  • 那么当要求Ａ匹配输入串时，Ａ就能根据它所面临的第一个输入符号ａ，准确的指派某一个候选前去执行任务。这个候选就是那个终结首符集含ａ的α。
• FOLLOW(A):
  
  • 假定S是文法G的开始符号，对于G的任何非终结符A，我们定义
    FOLLOW(A)={a | S=>*…Aa…，a∈VT}
  • FOLLOW(A)是所有句型中出现在紧接A之后的终结符或“#”。开始符号的FOLLOW集初始化时加入“#”。
  • 当非终结符A面临输入符号a，且a不属于A的任意候选首符集但A的某个候选首符集包含ε时，只有当a∈FOLLOW(A)时，才可能允许A自动匹配。
• LL(1)文法:
  
  • 文法不含左递归
  • 对于文法中每一个非终结符A的各个产生式的候选首符集两两不相交。即，若A→α1 |α2 | … |αn，则FIRST(αi)∩FIRST(αj)=Φ (i≠j)
  • 对文法中的每个非终结符A，若它存在某个候选首符集包含ε，则，FIRST(A)∩FOLLOW(A)=Φ
    如果一个文法G满足以上条件，则称该文法G为LL(1)文法。
  • LL(1)文法是不带回溯的自顶向下的文法
• 预测分析表：
  
  • 预测分析表示一个M[A,a]形式的矩阵。其中A为非终结符，a是终结符或‘#’ 。
  • 矩阵元素M[A,a]中存放着一条关于A的产生式，指出当A面临输入符号a时所应采用的候选。
    M[A,a]中也可能存放一个“出错标志”，指出A根本不该面临输入符号a。

预测分析表的构造

FIRST(α)的构造算法

要构造FIRST(α)，根据定义：
α=X1⋯Xn
那么对于从前到后的Xi我们进行分类讨论：

• 如果Xi∈Vt,那么FIRST(α)=FIRST(Xi)={Xi}
• 如果Xi∈Vn,因为不存在左递归，所以Xi=a.......|ϵ,那么FIRST(Xi)={a,ϵ,FIRST(Xi+1)}
• 只要Xi−1不包含ϵ,那么Xi不可能影响FIRST(α)
• 那么我们通过记录每个a∈V,然后进行深度优先记忆化搜索,将所有的状态填满，因为LL(1)文法使不会回溯的，所以能够保证在O(n)的时间完成，采取递归的形式实现

FOLLOW(A)的构造算法

设S,A,B∈Vn,那么连续使用如下规则，直至follow集不再发生变化：

• （1） S为标识符，那么FOLLOW(S)包含“#”
• （2） 若A::=αBβ,那么FOLLOW(B)+=FIRST(B)−{ϵ}
• （3） 若A::=αB或者A::=αBβ,且β⇒∗ϵ，那么FOLLOW(B)+=FOLLOW(A)

预测分析表的构造算法

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First集和Follow集,FirstVt集和LastVt集的计算

首先要知道First和Follow是一对，而Firstvt和Lastvt是一对。
然后要知道这两对都是干什么的。
First和Follow是为了画预测分析表的（在LL（1）分析法处）。
而Firstvt和Lastvt是为了画算符优先关系表的（就是表里面填优先大于小于等于的那个）。
然后要注意他们可都是终结符的集合。

再就是他们如何构建的问题了
先说First和Follow
First
如A->aB | CD
这里面包含了组成First（A）的两种情况：
           以终结符开头，    当然要把这个终结符放到A的First里
           以非终结符开头， 先把C的First放到A的First里
                                        再看如果C的First中有空的话就把D的First放到A的First里，如果D也有空的话往后依次类推
技巧：First一般从下往上找。
           如果要找A的First，我们要找A的定义式，即A在左边的式子，看着他的右边来找。

Follow
如S->(L) | aL | LC   
找Follow的三种情况：先在候选式（右边）中找到该非终结符，如L（注意例中只有一个定义，但找Follow要看到所有右边出现该非终结符的）
           如果L的右边是终结符，    那么这个终结符加入L的Follow
           如果L的右边是非终结符， 那么把这个非终结符的First除去空加到L的Follow中
           如果L处在末尾，               那么，'->'左边符号的Follow成为L的Follow
另外要注意的是：
           开始符号的Follow中要加上‘#’        
技巧：Follow一般从上往下找。
           如果要找L的Follow，要从式子的右边找到L，然后来找L的Follow，这与First是不同的。

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再说下Firstvt和Lastvt
Firstvt
找Firstvt的三条规则：如果要找A的Firstvt，A的候选式中出现：
           A->a.......，即以终结符开头，该终结符入Firstvt
           A->B.......，即以非终结符开头，该非终结符的Firstvt入A的Firstvt
           A->Ba.....，即先以非终结符开头，紧跟终结符，则终结符入Firstvt

Lastvt
找Lastvt的三条规则：如果要找A的Lastvt，A的候选式中出现：
           A->.......a，即以终结符结尾，该终结符入Lastvt
           A->.......B，即以非终结符结尾，该非终结符的Lastvt入A的Lastvt
           A->.....aB，即先以非终结符结尾，前面是终结符，则终结符入Firstvt