3 Steps(二分图初步)

Problem Statement

Rng has a connected undirected graph with N vertices. Currently, there are M edges in the graph, and the i-th edge connects Vertices Ai and Bi.

Rng will add new edges to the graph by repeating the following operation:

• Operation: Choose u and v (u≠v) such that Vertex v can be reached by traversing exactly three edges from Vertex u, and add an edge connecting Vertices u and v. It is not allowed to add an edge if there is already an edge connecting Vertices u and v.

Find the maximum possible number of edges that can be added.

Constraints

• 2≤N≤105
• 1≤M≤105
• 1≤Ai,Bi≤N
• The graph has no self-loops or multiple edges.
• The graph is connected.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N MA1 B1A2 B2:AM BM

Output

Find the maximum possible number of edges that can be added.

Sample Input 1

6 51 22 33 44 55 6

Sample Output 1

4

Sample Input 2

5 51 22 33 15 45 1

Sample Output 2

5

原题是在 AtCoder / CODE FESTIVAL 2017 qual B 中的C题。

题目大意为：

       给你一个无向连通图，如果任意两节点之间可以通过三条边（不一定最短）到达，且该两点之间无边，则可以在这两点之间建一条边，问最多能建几条边。

解题思路为：

       将该图黑白染色，则只要有路 白1--黑1--白2--黑2 ，则可以连接 白1--黑2,由此可以引入二分图的概念，如果该图是一副二分图，则其中白点为二分图的一点集，黑点为另一点集。而能建立的边都为两集合之间的任意边。而如果该图不是二分图，则意味着除 白--黑 之间能新建边外， 白--白  ， 黑--黑  之间亦能新建边，最后导致能建立的边为任意两点之间的边。

     综上，如果原图为二分图，则将两集合之间的所有边都连接起来，否则，就将所有点之间的边连接起来。

以下为AC代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<vector>#include<queue>using namespace std;typedef long long ll;ll l=0,r=0;int bj[500010] = {0};/* 用bfs来计算二分图中两点集中点的数量 */ bool playbfs(vector<int> nn[],int n){int t,t1;queue<int> bfs;bfs.push(1);bj[1] = 1;while(!bfs.empty()){int w;int t;w = bfs.front();bfs.pop();/* 判断点为那一集合 */if(bj[w]&1)l++;elser++;for(t=0;t<nn[w].size();t++){if(bj[nn[w][t]] == 0){bj[nn[w][t]] = bj[w]+1;bfs.push(nn[w][t]);}else{/* 如果回路，判断该两点是否在同一集合内 */ if(bj[w]%2 == bj[nn[w][t]]%2)return 0;}}}return 1;}int main(){ll n,m;scanf("%lld%lld",&n,&m);vector<int> nn[n+1];int t;for(t=0;t<m;t++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);nn[a].push_back(b);nn[b].push_back(a);}if(playbfs(nn,n))printf("%lld\n",l*r-m);elseprintf("%lld\n",n*(n-1)/2-m);return 0;}