二分初步学习

二分初步学习

      二分搜索算法是运用分治策略的典型例子。

      给定已经排好序的n个元素a[0:n-1]，现在要在这n 个元素中查找一个特定的元素x。

      首先，我们比较容易想到的是顺序搜索法，逐个地比较a[0:n-1]中的元素。但是这个方法没有充分地利用n个元素已排好序这个条件，因此在最坏的情况下，顺序搜索法需要O(n)次比较。

      二分搜索算法充分利用了元素间的次序关系，采用分治策略，可以在最坏的情况下O(logn)的时间完成搜索任务。

      二分搜索算法的基本思想是将n个元素分成个数大致相同的两半，取中间元素(a[(n-1)/2])与x作比较，如果x=a[(n-1)/2]，则找到x算法终止；如果x<a[(n-1)/2]，则只需在数组a的左半部分继续搜索x;如果x>a[(n-1)/2]，则只要在数组a的右半部分继续搜索x。

      bool binary(int *a,int n,int x){ int low=0,high=n-1,mid; while(low<=high){ mid=(low+high)/2; if(x<a[mid]) high=mid-1; else if(x==a[mid]) return true;//查找成功 else low=mid+1; } return false;//查找失败 }

 

      二分搜索算法也可以用在方程根的近似求解上。

      一般地，问题可以描述为,求解方程方程f(x)=0。那么具体采用怎样的二分策略来搜索方程的近似解呢?设定一个区间[a,b]满足f(a)*f(b)<0，对于连续函数f(x)来说，一定存在一个根x在区间[a,b]使得f(x)=0成立。不妨假设f(a)<0，f(b)>0，那么二分的思想就很明确了。同样，每次将区间分成两个大致相同的子区间[a,mid]、[mid,b]（mid=(a+b)/2.0），如果f(mid)>0，则只需在左半个区间[a,mid]中进行搜索；如果f(mid)<0，相应地我们只需要在问题的右半个区间[mid,b]中进行搜索即可。

                     

              #define EPS 1e-8//控制精度，EPS越小越接近方程的解 double solve(double x,double y){ double low,high,mid; low=0.0;high=y; while(high-low>=EPS){ mid=(low+high)/2.0; if(f(mid)>0.0) high=mid;//f(x)为方程f(x)=0中的函数f(x) else low=mid; } return mid;}

     

    参考资料：《计算机算法设计与分析》（王晓东著）