Centered Interval tree 介绍（中心区间树）

参考：https://en.wikipedia.org/wiki/Interval_tree

百度很多关于interval tree和segment tree的感觉都有问题，于是去Wikipedia查了一下interval tree，在这里总结一下。

线段树用来索引线段，比如时间段[1,10], [3,7], [20,30]，主要支持点查询，比如查找时间点4，会查出[1,10]和[3,7]，范围查询会附加用一颗独立的树形结构如B+树辅助查询。

有两种interval tree的实现，这里介绍其中一种 Centered interval tree

Centered interval tree

1 整体介绍

Centered interval tree 是一颗三叉树，专门用来应对点查询。

给定 n 个线段，用 Ts 和 Te 表示起点和终点。首先确定一个中心点，中心点会把所有线段分成三部分：

• a：Te 比 中心点 小的线段集合。
• b：中心点 落在[Ts,Te]中间的线段。
• c：Ts 比 中心点 大的线段。

a 为当前节点，b 为 a 的左子树，c 为 a 的右子树。树的整体构造过程就是这样，中心点的选择尽量使树平衡。

2 当前节点构造过程

当前节点维护五个信息：

• 1：中心点的值
• 2：指向左子树的指针
• 3：指向右子树的指针
• 4：按 Ts 将 a 中的线段排序
• 5：按 Te 将 b 中的线段排序

下面以 7 条线段为例，给出一个 interval tree 的示意图（仅表示大概意思）

• [1,5]
• [2,4]
• [6,13]
• [7,11]
• [8,12]
• [17,21]
• [18,22]

其中 10 ，3 ，20 是三个节点的中心点。3和20两颗子树没有子节点了。

3 点查询

查询包含点 p 的线段，从根节点开始，先和第一个节点开始查找，如果 p 等于当前中心点，则直接返回所有当前节点的线段，不再查找子树。如果 p 比中心点小，则递归查找左子树，p 比中心点大类似。

3.1 查询当前节点

当前节点维护的都是覆盖中心点的线段。如果 p 比中心点小，则所有线段的 Te 都比 p 大，只需要查找第 4 部分（按 Ts 将线段排序），所有小于 p 的 Ts 的线段都会覆盖 p ，满足查询条件。

其中x_center为中心点，x为查找的点。下图是节点内部的查找过程

3.2 点查询示例

查询7.5的示例图：首先查找根节点，因为7.5比10小，继续查找左子树。最后找到两个线段[6,13], [7,11]。

4 范围查询

给定查询范围[m, n]，返回与[m, n] 相交的所有线段。需要一个一维树形结构辅助。一般用B+树。

两条线段相交有四种：其中黑色线段为查询条件，下边线段为相交的线段。

这四种可以进一步分为两种情况：

• a，b，c ：左右端点至少有一个在查询范围内。
• d：完全覆盖查询范围。

4.1 范围查询过程

满足第一种情况的线段可以通过对所有线段建立一颗 B+ 树，将每个线段的左右端点插入到树中。范围查询可以直接查找开始节点和结束节点，中间端点链接的线段都满足要求。

第二种情况可以通过 interval tree来查，从查询范围中随便取一个点进行点查询。

最后进行合并去重。

4.2 范围查询示例：

查询[7.5, 9]。首先在 B+ 树中找到满足第一种情况的线段。

找到线段：[8,12]

再随便取个中间值 7.8 到 interval tree 中找到满足第二种情况的线段。

找到线段：[6,13], [7,11]

最后合并去重，得到结果集[8,12]，[6,13]， [7,11]