hihocoder 1181（浅谈佛罗莱算法在求欧拉路径可行解中的应用）

传送门

小Ho：这种简单的谜题就交给我吧！

小Hi：真的没问题么？

<10分钟过去>

小Ho：啊啊啊啊啊！搞不定啊！！！骨牌数量一多就乱了。

小Hi：哎，我就知道你会遇到问题。

小Ho：小Hi快来帮帮我！

小Hi：好了，好了。让我们一起来解决这个问题。

<小Hi思考了一下>

小Hi：原来是这样。。。小Ho你仔细观察这个例子：

因为相连的两个数字总是相同的，不妨我们只写一次，那么这个例子可以写成：3-2-4-3-5-1。6个数字刚好有5个间隙，每个间隙两边的数字由恰好对应了一块骨牌。

如果我们将每一个数字看作一个点，每一块骨牌看作一条边。你觉得是怎么样的呢？

小Ho：以这个例子来说的话，就是：

要把所有的骨牌连起来，也就是把所有的边都走一次。咦，这不是欧拉路问题么！

小Hi：没错，这问题其实就是一个欧拉路的问题，不过和上一次不一样的在于，这一次我们要找出一条欧拉路径。

小Ho：那我们应该如何来找一条路径呢？

小Hi：我们还是借用一下上次的例子吧

使用我们上一次证明欧拉路判定的方法，我们在这个例子中找到了2条路径：

L1: 4-5-2-3-6-5L2: 2-4-1-2

假设我们栈S，记录我们每一次查找路径时的结点顺序。当我们找到L1时，栈S内的情况为：

S: 4 5 2 3 6 5 [Top]

此时我们一步一步出栈并将这些边删除。当我们到节点2时，我们发现节点2刚好是L1与L2的公共节点。并且L2满足走过其他边之后回到了节点2。如果我们在这个地方将L2先走一遍，再继续走L1不就刚好走过了所有边么。

而且在上一次的证明中我们知道，除了L1之外，其他的路径L2、L3...一定都满足起点与终点为同一个点。所以从任意一个公共节点出发一定有一条路径回到这个节点。

由此我们得到了一个算法：

1. 在原图中找一个L1路径

2. 从L1的终点往回回溯，依次将每个点出栈。并检查当前点是否还有其他没有经过的边。若存在则以当前点为起点，查找L2，并对L2的节点同样用栈记录重复该算法。

3. 当L1中的点全部出栈后，算法结束。

在这里我们再来一个有3层的例子：

在这个例子中：

L1: 1-2-6-5-1L2: 2-3-7-2L3: 3-4-8-3

第一步时我们将L1压入栈S，同时我们用一个数组Path来记录我们出栈的顺序：

S: [1 2 6 5 1]Path:

然后出栈到节点2时我们发现了2有其他路径，于是我们把2的另一条路径加入：

S: 1 [2 3 7 2]Path: 1 5 6

此时L2已经走完，然后再开始弹出元素，直到我们发现3有其他路径，同样压入栈：

S: 1 2 [3 4 8 3]Path: 1 5 6 2 7 

之后依次弹出剩下的元素：

S: Path: 1 5 6 2 7 3 8 4 3 2 1

此时的Path就正好是我们需要的欧拉路径。

小Ho：原来这样就能求出欧拉路，真是挺巧妙的。

小Hi：而且这个算法在实现时也有很巧妙的方法。因为DFS本身就是一个入栈出栈的过程，所以我们直接利用DFS的性质来实现栈，其伪代码如下：

DFS(u):While (u存在未被删除的边e(u,v))删除边e(u,v)DFS(v)EndPathSize ← PathSize + 1Path[ PathSize ] ← u

小Ho：这代码好简单，我觉得我可以实现它！

小Hi：那么实现就交给你了

小Ho：没问题！交给我吧

在图上dfs，每找到一条边就删除它然后继续搜，这样搜索到搜不下去的位置肯定是终点，搜的过程中用stack或者vector记录路径即可。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#include<vector>using namespace std;const int MAXN=1002;int n,m,deg[MAXN],mp[MAXN][MAXN];vector<int > G[MAXN],path;inline void adde(int u,int v) {++deg[u],++deg[v];++mp[u][v],++mp[v][u];G[u].push_back(v),G[v].push_back(u);}void dfs(int p) {for (int i=0;i<G[p].size();++i) {int v=G[p][i];if (mp[p][v]) {--mp[p][v],--mp[v][p];dfs(v);}}path.push_back(p);}int main() {//freopen("hihocoder 1181.in","r",stdin);for (int i=1;i<=n;++i) G[i].clear();path.clear();memset(deg,0,sizeof(deg));memset(mp,0,sizeof(mp));scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=0;i<m;++i) {int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);adde(u,v);}int st=1;for (int i=1;i<=n;++i)if (deg[i]%2) {st=i;break;}dfs(st);for (int i=0;i<path.size();++i)printf("%d ",path[i]);puts("");return 0;}