二元关系最小割

Description

高一一班的座位表是个n*m的矩阵，经过一个学期的相处，每个同学和前后左右相邻的同学互相成为了好朋友。这学期要分文理科了，每个同学对于选择文科与理科有着自己的喜悦值，而一对好朋友如果能同时选文科或者理科，那么他们又将收获一些喜悦值。
　　作为计算机竞赛教练的scp大老板，想知道如何分配可以使得全班的喜悦值总和最大。
Solution

因为只有两种选择，并且选择之间有关系，我们自然想到割。

因为每个割将所有点分成两个集合，总喜悦值减去这个割就是答案，显然就是最小割。

重点在于，如何连边？

暂时先考虑只有两个点x,y的情况，设源点为S选文科，汇点为T选理科。

a表示选文科的喜悦值，b表示选理科的喜悦值，cx,y表示x,y都选文科的值，dx,y表示都选理科，W表示边权
这里写图片描述
分四种情况讨论。

x,y都选文

那么割掉W(x,T)+W(y,T)，失去的喜悦值就是bx+by+dx,y
x,y都选理

那么割掉W(S,x)+W(S,y)，失去喜悦值ax+ay+cx,y
x选文,y选理

割掉W(x,T)+W(S,y)+W(x,y),失去喜悦值bx+ay+cx,y+dx,y
x选理,y选文

割掉W(S,x)+W(y,T)+W(x,y),失去喜悦值ax+by+cx,y+dx,y
写在一起
W(x,T)+W(y,T)=bx+by+dx,y
W(S,x)+W(S,y)=ax+ay+cx,y
W(x,T)+W(S,y)+W(x,y)=bx+ay+cx,y+dx,y
W(S,x)+W(y,T)+W(x,y)=ax+by+cx,y+dx,y
明显看出
W(S,x)=ax+cx,y2
W(S,y)=ay+cx,y2
W(x,T)=bx+dx,y2
W(y,T)=by+dx,y2
W(x,y)=cx,y+dx,y2
那么对于多个，我们推广。
W(S,x)=ax+cx,x所有朋友2
W(x,T)=bx+dx,x所有朋友2
W(x,y)=cx,y+dx,y2
然后根据最大流=最小割，跑一遍dinic或者GAP就好了
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题意：Y国有N座城市，并且有M条双向公路将这些城市连接起来，并且任意两个城市至少有一条路径可以互达。
Y国的国王去世之后，他的两个儿子A和B都想成为新的国王，但他们都想让这个国家更加安定，不会用武力解决问题。
于是他们想将这个国家分成两个小国家A国和B国。现在，A拥有1号城市，B拥有N号城市，其他的城市还尚未确定归属哪边（划分之后的国家内部城市可以不连通）。
由于大家都想让国家变得更好，而某些城市的人民愿意国王的A儿子作为他们的领袖，而某些城市更看好B，而为了交通的便捷，如果划分后的公路连接两个同一个国家的城市，那么更利于城市之间的交流。于是大臣们设计了一种对土地划分的评分机制，具体如下：
1. 对于城市i，如果它划分给A国，将得到VA[i]的得分；划分给B国，将得到VB[i]的得分。
2. 对于一条公路i，如果它连接两个A国的城市，将得到EA[i]的得分；连接两个B国的城市，将得到EB[i]的得分；否则，这条公路将失去意义，将扣除EC[i]的得分。
现请你找到最优的土地划分，使得这种它的评分最高。

很明显的二元关系的最小割，新建S,T，对于每个点，由S向I连VA[I],由I向T连VB[I].对于每条边，由S向x,y连EA/2,由T向x,y连EB/2.x,y互连EA/2+EB/2+EC，特别地，S向1连INF，N向T连INF.我们先将所有可能的收益加起来，网络流中的边权代表扣除的收益，这样跑最小割之后就是剩余的最大收益。
Tips:先将所有权值乘上2，最后除以2，这样避免实数运算。

  scanf("%d%d",&n,&m);s=0,t=n+1;st[1]=INF;ed[n]=INF;  for(int i=2;i<=n-1;i++)  {    int x;scanf("%d",&x);    st[i]+=2*x;    ans+=2*x;  }  for(int i=2;i<=n-1;i++)  {    int x;scanf("%d",&x);    ed[i]+=2*x;ans+=2*x;  }  for(int i=1;i<=m;i++)  {    int x,y,ea,eb,ec;    scanf("%d%d%d%d%d",&x,&y,&ea,&eb,&ec);    ans+=(ea+eb)*2;st[x]+=ea;st[y]+=ea;ed[x]+=eb;ed[y]+=eb;    addedge(x,y,ea+eb+2*ec);addedge(y,x,ea+eb+2*ec);  }  for(int i=1;i<=n;i++)   {    addedge(s,i,st[i]);    addedge(i,t,ed[i]);  }  printf("%d\n",(ans-maxflow())/2);