二元关系

主要内容

 1. 有序对与卡氏积
 2.  二元关系（包括空关系，恒等关系，全域关系等）及其表示（关系矩阵，关系图）
 3. 关系的五种性质（自反性，反自反性，对称性，反对称性，传递性）
 4.  二元关系的幂运算
 5.  关系的三种闭包（自反闭包，对称闭包，传递闭包）
 6. 等价关系和划分（包括等价类，商集，划分块等）

 7. 偏序关系（包括哈斯图，最大元，最小元，极大元，极小元，上界，下界，最小上界，最大下界等）

学习要求

 1.     掌握：有序对及卡氏积的概念及卡氏积的性质

 2.     掌握：二元关系，A到B的二元关系，A上的二元关系，关系的定义域和值域，关系的逆，关系的合成，关系在集合上的限制，集合在关系下的象等概念，3掌握关系的定义域、值域、逆、合成、限制、象等的主要性质
 3.     掌握：关系矩阵与关系图的概念及求法
 4.     掌握：集合A上的二元关系的主要性质（自反性，反自反性，对称性，反对称性，传递性）的定义及判别法，对某些关系证明它们有或没有中的性质
 5.     掌握：A上二元关系的n次幂的定义及主要性质
 6.     掌握A上二元关系的自反闭包、对称闭包、传递闭包的定义及求法
 7.     掌握：等价关系、等价类、商集、划分、等概念，以及等价关系与划分之间的对应
 8.     掌握：偏序关系、偏序集、哈斯图、最大元、最小元、极大元、极小元、上界、下界、上确界、下确界等概念

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有序对与笛卡儿积

基本概念

定义7.1 由两个元素x和y（允许x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对或序偶，记作<x,y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。

有序对<x,y>具有以下性质：

• 1．当x≠y时，<x,y>≠<y,x>。
  
• 2．<x,y>=<u,v>的充分必要条件是x=u且y=v。
  

这些性质是二元集{x,y}所不具备的。例如当x≠y时有{x,y}={y,x}。原因在于有序对中的元素是有序的，而集合中的元素是无序的。
例7.1 已知<x+2,4>=<5,2x+y>，求x和y。
　　解 由有序对相等的充要条件有
　　　　x+2=5
　　　　2x+y=4
解得x=3,y=-2。
定义7.2 设A，B为集合,用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积，记作A×B。笛卡儿积的符号化表示为　　　　A×B={<x,y>|x∈A∧y∈B}
　　例如，设A={a,b}, B={0,1,2}，则
　　　　A×B={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}
　　　　B×A={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}
　　由排列组合的知识不难证明，如果|A|=m,|B|=n,则|A×B|=m^n。

二元关系

基本概念

定义7.3 如果一个集合满足以下条件之一：

• （1）集合非空，且它的元素都是有序对
• （2）集合是空集
  

则称该集合为一个二元关系，记作R。二元关系也可简称为关系。对于二元关系R，如果<x,y>∈R，可记作xRy；如果<x,y>R，则记作xy。
例如R₁={<1,2>,<a,b>}，R₂={<1,2>,a,b}。则R₁是二元关系，R₂不是二元关系，只是一个集合，除非将a和b定义为有序对。根据上面的记法可以写1R₁2，aR₁b，aR₁c等。
定义7.4 设A，B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系，特别当A=B时则叫做A上的二元关系。
　　例如A={0,1}，B={1,2,3}，那么R1={<0,2>}，R2=A×B，R3=，R4={<0,1>}
等都是从A到B的二元关系，而R3和R4同时也是A上的二元关系。
集合A上的二元关系的数目依赖于A中的元素数。如果|A|=n，那么|A×A|=n²， A×A的子集就有个。每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有个不同的二元关系。例如|A|=3，则A上有=512个不同的二元关系。

关系表示法

例7.4 设A={1,2,3,4}，下面各式定义的R都是A上的关系，试用列元素法表示R。
　　(1) R={<x,y>|x是y的倍数}
　　(2) R={<x,y>|(x-y)²∈A}
　　(3) R={<x,y>|x/y是素数}
　　(4) R={<x,y>|x≠y}
　　解　(1) R={<4,4>,<4,2>,<4,1>,<3,3>,<3,1>,<2,2>,<2,1>,<1,1>}
　　　　(2) R={<2,1>,<3,2>,<4,3>,<3,1>,<4,2>,<2,4>,<1,3>,<3,4>,<2,3>,<1,2>}
　　　　(3) R={<2,1>,<3,1>,<4,2>}
　　　　(4) R=E_A-I_A={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,4>,<4,1>,<4,2>,<4,3>}
　　给出一个关系的方法有三种:集合表达式，关系矩阵和关系图。例7.4中的关系就是用集合表达式来给出的。对于有穷集A上的关系还可以用其他两种方式来给出。
　　设A={x₁,x₂,…,x_n},R是A上的关系。令
　　　　　　

则
　　　　　　

是R的关系矩阵，记作M_R。

关系的运算

基本概念

定义域、值域、域、逆关系
　　关系的基本运算有七种，分别定义如下：
定义7.6 设R是二元关系。
　　(1) R中所有的有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域，记为domR。形式化表示为：domR={x|y(<x,y>∈R)}
　　(2) R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域，记作ranR。形式化表示为 ranR={y|x(<x,y>∈R)}
　　(3) R的定义域和值域的并集称为R的域，记作fldR。形式化表示为fldR=domR∪ranR
例7.5 设R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}，则
　　 　 　domR={1,2,4}
　　 　 　ranR={2,3,4}
　　 　 　fldR={1,2,3,4}

定义7.7 设R为二元关系，R的逆关系，简称R的逆，记作R^-1,其中R^-1={<x,y>|<y,x>∈R}

运算的性质

下面考虑这些基本运算的性质。
定理7.1 设F是任意的关系，则
　　(1)(F^-1)^-1=F
　　(2)domF^-1=ranF，ranF^-1=domF

　　证　(1)任取<x,y>，由逆的定义有
　　　　　　<x,y>∈(F^-1)^-1<y,x>∈F^-1<x,y>∈F。
所以有(F^-1)^-1=F。
　　　　(2)任取x,
　　　　　　x∈domF^-1y(<x,y>∈F^-1)y(<y,x>∈F)x∈ranF
所以有domF^-1=ranF。
　　同理可证 ranF^-1=domF。
定理7.2 设F，G，H是任意的关系，则
　　(1)(FG)H=F(GH)
　　(2)(FG)^-1=F^-1G^-1

　　证 (1)任取<x,y>,
　　　　<x,y>∈(FG)H
　　t(<x,t>∈FG∧(t,y)∈H)
　　t(s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H)
　　ts(<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H)
　　s(<x,s>∈F∧t(<s,t>∈G∧<t,y>∈H))
　　s(<x,s>∈F∧<s,y>∈GH)
　　<x,y>∈F(GH)
所以(FG)H=F(GH)

　　（2）任取<x,y>,
　　　　<x,y>∈(FG)^-1
　　<y,x>∈FG
　　t(<y,t>∈F∧(t,x)∈G)
　　t(<x,t>∈G^-1∧(t,y)∈F^-1)
　　<x,y>∈G^-1F^-1
所以（FG）^-1=F^-1G^-1。

关系幂

在右复合运算的基础上可以定义关系的幂运算。
定义7.10 设R为A上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为：
　　（1） R⁰={<x,x>|x∈A}=I_A
　　（2） Rⁿ⁺¹=RⁿR
　　由以上定义可知，对于A上的任何关系R₁和R₂都有
　　　　　R₁⁰=R₂⁰=I_A
也就是说，A上任何关系的0次幂都相等，都等于A上的恒等关系I_A。此外对于A上的任何关系R都有R¹=R，因为
　　　　　R¹=R⁰R=I_AR=R
　　给定A上的关系R和自然数n，怎样计算Rⁿ呢？若n是0或1，结果是很简单的。下面考虑n≥2的情况。如果R是用集合表达式给出的，可以通过n-1次右复合计算得到Rⁿ。如果R是用关系矩阵M给出的，则Rⁿ的关系矩阵是Mⁿ，即n个矩阵M之积。与普通矩阵乘法不同的是，其中的相加是逻辑加，即
　　　　　1+1=1,1+0=0+1=1,0+0=0
　　如果R是用关系图G给出的，可以直接由图G得到Rⁿ的关系图G'。G'的顶点集与G相同。考察G的每个顶点x_i，如果在G中从x_i出发经过n步长的路径到达顶点x_j，则在G'中加一条从x_i到x_j的边。当把所有这样的便都找到以后，就得到图G'。

幂运算的性质

下面考虑幂运算的性质。
定理7.6 设A为n元集，R是A上的关系，则存在自然数s和t,使得R^s=R^t。
　　证 R为A上的关系，对任何自然数k，R^k都是A×A的子集。又知|A×A|=n²，|P(A×A)|=，即A×A的不同子集仅个。当列出R的各次幂R⁰，R¹，R²，…，，…，必存在自然数s和t使得R^s=R^t。
　　该定理说明有穷集上只有有穷多个不同的二元关系。当t足够大时R^t必与某个R^s(s<t)相等。如例7.8中的R⁴=R²。
定理7.7 设R是A上的关系，m,n∈N，则
　　(1)R^mRⁿ=R^m+n
　　(2)(R^m)ⁿ=R^mn

　　证(归纳法)
　　(1) 对于任意给定的m∈N,施归纳于n。若n=0，则有
　　　　R^mR⁰=R^mI_A=R^m=R^m+0
　　假设R⁴Rⁿ=R^m+n，则有
　　　　R^mRⁿ⁺¹=R^m(RⁿR)=(R^mRⁿ)R=R^m+n+1 ，
所以对一切m,n∈N有R^mRⁿ=R^m+n。
　　(2) 对于任意给定的m∈N,施归纳于n。若n=0，则有
　　　　(R^m)⁰=I_A=R⁰=R^m×0
　　假设(R^m)ⁿ=R^mn，则有
　　　　(R^m)ⁿ⁺¹=(R^m)ⁿR^m=(R^mn)Rⁿ=R^mn+m=R^m(n+1)
所以对一切m,n∈N有(R^m)ⁿ=R^mn。

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