NKOJ 3805 距离（线性筛）

P3805距离

问题描述

对于两个正整数a、b，这样定义函数d(a,b)：每次操作可以选择一个质数p，将a变成a*p或a/p，

如果选择变成a/p就要保证p是a的约数，d(a,b)表示将a变成b所需的最少操作次数。
例如d(69,42)=3。

现在给出n个正整数A1,A2,…,An，对于每个i (1<=i<=n)，求最小的j(1<=j<=n)使得i≠j且d(Ai,Aj)最小。

输入格式

第一行一个正整数n (2<=n<=100,000)。
第二行n个正整数A1,A2,…,An (Ai<=1,000,000)。

输出格式

输出n行，依次表示答案。

样例输入

6
1
2
3
4
5
6

样例输出

2
1
1
2
1
2

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分析一下容易发现，最对于一个数对(a,b)最优的变化方法就是a−>gcd(a,b)−>b
那么，如果我们用cnt[x]表示x所含的质因数的个数，比如cnt[8]=3
显然有d(a,b)=cnt[a]+cnt[b]−2∗cnt[gcd(a,b)]
那么对于一个数a我们需要找出最优的b
不妨考虑枚举gcd,那么b是gcd的倍数，但是如果枚举gcd再枚举b显然要超时。
观察发现上式中cnt[a]为定值，那么如果我们对于每一个gcd处理出使F[gcd]=cnt[b]−cnt[gcd]最小的b，就能很快解决问题，而这显然是可以预处理出来的，只需要枚举b的因数，用b更新F即可。
注意到不能选到相等的下标，因此我们需要记录最小和次小。
最后，cnt可以线性筛预处理出来，F可以枚举因数预处理出来，时间复杂度O(n×n√)

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代码：

#include<stdio.h>#include<iostream>#include<algorithm>#define max(a,b) ((a>b)?(a):(b))#define N 1234567using namespace std;int n,Max,A[N],Cnt[N],cnt,P[N],F1[N],F2[N],ans,Num;void EUL(){    int i,j;    for(i=2;i<=Max;i++)    {        if(!Cnt[i])Cnt[i]=1,P[++cnt]=i;        for(j=1;j<=cnt&&P[j]*i<=Max;j++)        {            Cnt[i*P[j]]=Cnt[i]+1;            if(i%P[j]==0)break;        }    }}void Cha(int i,int j){    if(Cnt[A[i]]<=Cnt[A[F1[j]]])F2[j]=F1[j],F1[j]=i;    else if(Cnt[A[i]]<=Cnt[A[F2[j]]])F2[j]=i;}void Pre(){    int i,j;    for(i=n;i>=1;i--)    {        for(j=1;j*j<=A[i];j++)        if(A[i]%j==0)        {            Cha(i,j);            if(j*j!=A[i])Cha(i,A[i]/j);        }    }}void MD(int x,int i){    int t,k;    if(F1[x]!=i)k=F1[x];    else k=F2[x];    t=Cnt[A[k]]-2*Cnt[x];    if(t<ans||(t==ans&&k<Num))ans=t,Num=k;}int main(){    int i,j,x;    scanf("%d",&n);    for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&A[i]),Max=max(A[i],Max);    Cnt[0]=1e9;EUL();Pre();    for(i=1;i<=n;i++)    {        ans=1e9;Num=1e9;        for(j=1;j*j<=A[i];j++)if(A[i]%j==0)MD(j,i),MD(A[i]/j,i);        printf("%d\n",Num);    }}