数论概论 定理总结

二. 勾股数组

每个 本原勾股数组 ( a ,b ,c ) ( 其中 a 为奇数 ， b 为偶数 ) 都可以从 如下公式得出 :

a = s*t ; b= ( s^2 - t^2 ) /2 ; c = ( s^2 + t^2 ) /2 ;

其中 s > t >= 1 ，且 s,t 是任意没有公因数的奇数。

三 勾股数组与单位圆

圆 x^2 + y^2 =1 上的坐标是有理数的点都可以用公式 

( x , y ) = (  ( 1 - m^2) / ( 1 + m^2 ) ,   2 * m /( 1 + m^2 )  ) 

得到，其中m取有理值 （点 ( -1 , 0 ) 例外 ， 这是当 m -> ∞ 时的极限值 ) 

五. 就是gcd 不写了。。。

六. 线性方程定理

设 a , b 是非零整数 ， g = gcd ( a , b ) . 方程  a * x + b * y = gcd ( a , b ) 至少有一个解( x1 , y1 ) .

则方程的每一个解可由 ( x1 + k * (b / gcd( a , b ) , y1 - k *( a / gcd ( a , b ) ) ) 得到。 k 可为任意整数。

就是扩展欧几里得。。。。

int gcdEx(int a, int b, int &x, int &y)  {     if(b==0)     {         x = 1,y = 0;         return a;     }     else     {         int r = gcdEx(b, a%b, x, y);         int t = x;         x = y;         y = t - a/b * y;         return r;     } }

七. 唯一分解定理 。。。

八. 同余式

线性同余式定理

1.设 a , c , m 是整数 ， m >= 1 ，且 设 g = gcd ( a , m ).

如果 c 不能被 g 整除 则同余式 a * x ≡ c ( mod m ) 无解

如果 c 能被 g 整除 则同余式 a * x ≡ c ( mod m ) 恰好有 g 个不同的解 ，要求解 ，先求解线性方程

a * u + m * v = g

的一个解 ( u0 , v0 ) 则 x0 = c * u0 / g 是 a * x ≡ c ( mod m ) 的解， 不同解的完全集由

x ≡ x0 + k * ( m / g ) ( mod m ) , k = 0 , 1 , 2 ,. . . ,  g-1 给出。

（其他解就是 ( x0 + ( m / g ) * k ) mod m , k = 0 , 1 , 2 ,. . . ,  g-1 )

（当 g = 1 时 a * x ≡ c ( mod m ) 恰好有一个解，可以写成分数  x ≡ ( c / a ) ( mod m) 

2. 设 p 为素数 f ( x ) = a0 * x ^ d + a1 * x ^ ( d - 1 ) + ... + ad 是次数为 d >= 1 的整系数多项式 ， 且 p 不整除 a0 ，则同余式 f ( x ) ≡  0 ( mod p ) 最多有 d 个模 p 不同余的解。

九. 费马小定理

设 p 是素数 ， a 是任意整数且 a % p !=0 , 则 

a ^ ( p -1 ) ≡ 1 ( mod p ) 

十. 同余式，幂与欧拉公式

如果 gcd ( a , m ) = 1， 则  a ^ Φ( m ) ≡ 1 ( mod m ) 

十一.  欧拉Φ函数与中国剩余定理

 Φ函数公式

如果p是素数，且k >= 1，则

Φ( p ^ k) = p^k - p^(k-1).

如果 gcd( m , n ) = 1 , 则 Φ( m * n ) = Φ ( m ) * Φ ( n ) .

中国剩余定理 

设 m , n 是整数 ， gcd ( m ,n ) = 1 , b 与 c 是任意整数 ， 则同余式组 

x ≡ b ( mod m ) 与 x ≡ c ( mod n ) 恰有一个解 0 <= x < m * n .

十五. 梅森素数与完全数

欧几里得完全数公式 

如果 2 ^ p - 1 是素数，则 2 ^ ( p -1 ) * ( 2 ^ p - 1 ) 是完全数。

完全数是等于其真因数之和的数。

欧拉完全数定理

如果 n 是偶完全数，则n形如

 2 ^ ( p -1 ) * ( 2 ^ p - 1 ) 

其中 2 ^ p -1 是梅森素数。

σ 函数公式

σ ( n ) = n 的所有因数之和 ( 包括 1 和 n ) .

( a ) 如果 p 是素数， k >= 1 ，则

σ ( p ^ k ) = ( p ^ ( k+1 ) -1 ) / ( p - 1 )

( b ) 如果 gcd ( m , n ) = 1 , 则

σ ( m * n ) = σ ( m ) * σ ( n )

十六. 卡米歇尔数

对于一个合数 n ，对每个整数 1 <= a <= n 都有

a ^ n ≡ a ( mod n )

卡米歇尔数是一种可冒充素数的合数。

卡米歇尔数的考赛特判别法

设 n 是合数，则 n 是卡米歇尔数当且仅当他是奇数，且整除 n 的每个素数 p 满足

( 1 ) p ^ 2 不整除 n

( 2 ) p - 1 整除 n -1

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有错误请指出！！！

等我继续看书补充....