数论概论笔记 第7章 因数分解与算数基本定理

素数定义：如 p ≥ 2 且p只能被1或自身整除，则p为素数。

断言7.1 令 p 是素数，如 p 整除乘积 ab，则 p 整除 a 或 p 整除 b。

证明如下：

如 p 整除 a，则命题成立；

如 p 不整除 a，则有 gcd(a, p) = 1；

根据第6章的定理，可得方程

ax + py = gcd(a, p) = 1；

abx + pby = b；

已知 p 可整除 ab、bp ，则 p 必整除 b；

即 a, b 中至少有一个可被 p 整除。证明完毕。

定理7.2 （素数整除性质）：假设素数 p 整除乘积 a1 * a2 ……ar，则 p 整除 a1, a2, ……ar 中至少一个因数。

证明：

如 p 整除 a1，命题成立；

如 p 不整除 a1，由断言7.1 可知 p 整除

a2 * a3 ……  * ar；

继续此过程，最终必有 p 整除某个 ai，即p 整除 a1, a2, ……ar 中至少一个因数。证明完毕。

定理7.3（算数基本定理）：每个整数 n ≥ 2 可唯一分解为素数乘积

n = p1 * p2 …… pr。

证明如下：

现证明数n可以以某种方式分解成素数乘积。证明如下：

当n = 2, n = 3, n = 4 时，有

n = 2, n = 3, n = 4 = 2 * 2，命题成立；

设当 n ≤ N 时，命题成立；

当 n = N + 1 时，

如 N + 1 为素数，命题成立；

如 N + 1 为合数，有 N + 1 = n1 * n2，n1 ≤ N，n2 ≤ N；

则 n1, n2 可分解为素数乘积，

其积 N + 1 必可分解成素数乘积，命题成立；

现证明仅有一种这样的因数分解。证明如下：

设 n 有两种分解形式，即

n = p1 * p2* …… *pr,   n = q1 * q2 *……*qs；

则有 p1 整除 n,，即 p1 整除 q1 * q2 *……*qs；

由定理7.2可知，p1 整除 qn 中的某因子，设该因子为 q1；

因为 q1 为素数，则 p1 = q1；

消去 p1, q1，得

p2 * p3* …… *pr = q2 * q3 *……*qs；

继续该过程，最终消去所有 pi 或 所有 qi；

此时等式两边为1，即 {pr} 与 {qs} 的元素个数相同；

又因为两数列元素两两相等，则 {pr} = {qs}，即 n 的分解形式唯一。证明完毕。

void resolve(int n){int cnt = 0, m = sqrt(n) + 2;for (int i = 2; i <= m; i += 2){if (n % i == 0){while (n / i == 0){factor[cnt]++;n /= i;}cnt++;}if (i == 2)i--;}if (n != 1)factor[cnt++] = n;}