MIT18.06线性代数课程笔记6：vector space，subspace，column space，null space

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。

课程笔记

vector space

首先给出vector space的定义：组成元素为n维向量，且对加减和标量乘法封闭。即有

∀v⃗ ∈S,cv⃗ ∈S∀v⃗ ,w⃗ ∈S,v⃗ +w⃗ ∈S

典型的vector space如R3，即所有三维实数向量所组成的集合。

subspace

1. 定义：位于vector space内部，且对加减和标量乘法封闭的向量空间。

2. 几个例子：如三维空间中的平面、线以及原点

3. 性质：、

   1. 必须包含零点（/原点），因为0v⃗ =0⃗ 

   2. 必须对加减和标量乘法封闭

   3. subspace的交集仍然是subspace
      

      T=S1∩S2∀v⃗ 1∈T,v⃗ 2∈T,v⃗ 1+v⃗ 2∈S1∧v⃗ 1+v⃗ 2∈S2⇒v⃗ 1+v⃗ 2∈T∀v⃗ ∈T,cv⃗ ∈S1∧cv⃗ ∈S2⇒cv⃗ ∈T

   4. subspace的并集不一定是subspace（通常不是）

column space

涉及到Ax=b何时有解的问题，那结论是b在A的column spaceC(A)里的时候有解。

具体地，A可以表示为列向量的组合Am×n=[a1,a2,⋯,an]，而Ax为A的列向量的线性组合。所有的线性组合的集合共同构造了一个Rm内的subspace，即为A的column space，使用C(A)表示。

column space是space的验证：

∀v⃗ ∈C(A),cv⃗ =cAx⃗ =Acx⃗ ∈C(A)∀v⃗ 1,v⃗ 2∈C(A),v⃗ 1+v⃗ 2=Ax⃗ 1+Ax⃗ 2=A(x⃗ 1+x⃗ 2)∈C(A)

所以C(A)是所有Ax的所有可能输出的集合，Ax=b有解的充要条件是b∈C(A)。

C(A)的性质取决于A，具体地，取决于A中有多少线性无关（independent）列向量。线性无关的概念后面会展开，这里大概的意思就是如果删掉某个列向量，C(A)不变就认为其与其他列向量线性相关。或者说，某个列向量可以表示为其他列向量的线性组合，那么这个列向量与其他列向量线性相关。因为其不提供更多的信息。

null space

刚刚探讨了Ax=b是否有解的问题，这里探讨Ax=b解集的性质（/形状）。

首先定义null space：N(A)={x:Ax=0}，即所有满足Ax=0的x的集合。其构造了Rn内的一个subspace，使用N(A)表示。

验证null space是space：

∀v⃗ ∈N(A),Acv⃗ =cAv⃗ =0⇒cv⃗ ∈N(A)∀v⃗ 1,v⃗ 2∈N(A),A(v⃗ 1+v⃗ 2)=0⇒v⃗ 1+v⃗ 2∈N(A)

N(A)必含有零点，同时其大小取决于A的性质，仍然是和A中线性相关的列向量的数目有关。

笔者的小思考：N(A)很好的定义了Ax=b的解集形状，而不仅仅是Ax=0的解集形状。因为设Ax1=b，则有A(x1+v)=b,∀v∈N(A)。同时只要找到一个Ax1=b，就可以找到所有的Ax=b，因为A(x−x1)=0，所以x−x1∈N(A)，进而{x:Ax=b}={x1+v:v∈N(A)}。