MIT18.06线性代数课程笔记17：正交标准矩阵

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。

课程笔记

先给出正交标准矩阵的定义，然后讨论其性质，最后给出一个构造正交标准矩阵的方法。

1. 正交标准矩阵 Orthonormal Matrix

当一个矩阵Q满足QTQ=I，则称其为orthonormal的。
具体地，设Qn×m=[q1,q2,⋯,qm]，则有qTiqj=0,i≠j，此为正交；以及qTiqi=1，此为标准。
即所有列向量之间正交，而且每个列向量长度为1。

2. 相关性质

若Q为方阵，则Q−1=QT。
Q列满秩，因为正交必然不相关。
到column space的投影矩阵P=Q(QTQ)−1QTx=QQTx。也可以通过p=∑mi=1(qTix)qi得到，即等于投影到各个列向量的和，因为各个列向量是正交的。

3. 构造正交标准矩阵

具体地，从任意矩阵An×m，构造矩阵Q满足C(A)=C(Q)而且QTQ=I。为了简化步骤，假设A列满秩。
方法非常简单，逐渐增加基向量的数量，一直满足基向量长度为1，相互正交。
初始状态加入归一化的第一列到基向量集合。
第i步（2≤i≤m）加入向量ai−Pai长度为1的结果。其中P为已有基向量构造子空间的投影矩阵。
最终基向量并起来的矩阵即为Q。
注意到上诉做法均为对A列向量的线性组合，所以column space不变。同时所有的变化可以表示为可逆的变化矩阵M，满足Q=AM。进而存在矩阵R=M−1满足A=QR。因为上诉构造方法中第i步只使用A的前i个列向量，所以R是上三角矩阵。上三角的性质也可以通过rij=aTjqi验证。