树状数组

了解树状数组

       树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。

基本概念

假设数组a[1..n]，那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。
来观察这个图：

令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

这里有一个有趣的性质：

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

function lowbit(x:longint):longint;begin  exit(x and -x);end;

当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和），可以依据如下算法即可：

step1:令sum = 0，转第二步；

step2:假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；

step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。

可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。

所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；

step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

对于数组求和来说树状数组简直太快了!

很容易知道C8表示A1～A8的和，但是C6却是表示A5～A6的和，为什么会产生这样的区别的呢？或者说发明她的人为什么这样区别对待呢？

答案是，这样会使操作更简单！看到这相信有些人就有些感觉了，为什么复杂度被log了呢？可以看到，C8可以看作A1～A8的左半边和+右半边和，而其左半边和是确定的C4，右半边其实也是同样的规则把A5～A8一分为二……继续下去都是一分为二直到不能分树状数组巧妙地利用了二分，树状数组并不神秘，关键是巧妙！

最后，我凭借两道洛谷上的模版题用代码让大家更深地了解树状数组。

P3374 【模板】树状数组 1

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1.将某一个数加上x

2.求出某区间每一个数的和

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含3或4个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1： 格式：1 x k 含义：将第x个数加上k

操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和

输出格式：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

5 5

1 5 4 2 3

1 1 3

2 2 5

1 3 -1

1 4 2

2 1 4

输出样例#1：

14

16

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

样例说明：

故输出结果14、16

Code：

var  a,tree:array[0..500005] of longint;  i,p,x,k,n,m:longint;procedure add(k,p:longint);begin  while k<=n do  begin    inc(tree[k],p);    k:=k+(k) and (-k);  end;end;function sum(k:longint):longint;var ans:longint;begin  ans:=0;  while k>0 do  begin    ans:=ans+tree[k];    k:=k-(k) and (-k);  end;  exit(ans);end;begin  readln(n,m);  for i:=1 to n do  begin    read(a[i]);    add(i,a[i]);  end;  for i:=1 to m do  begin    readln(p,x,k);    if p=1 then add(x,k) else    writeln(sum(k)-sum(x-1));  end;end.

P3368 【模板】树状数组 2

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1.将某区间每一个数数加上x

2.求出某一个数的和

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含2或4个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k

操作2： 格式：2 x 含义：输出第x个数的值

输出格式：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

5 5

1 5 4 2 3

1 2 4 2

2 3

1 1 5 -1

1 3 5 7

2 4

输出样例#1：

6

10

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

样例说明：

故输出结果为6、10

Code：

var  a,tree:array[0..500005] of longint;  y,i,p,x,k,n,m:longint;procedure add(k,p:longint);begin  while k<=n do  begin    inc(tree[k],p);    k:=k+(k) and (-k);  end;end;function sum(k:longint):longint;var ans:longint;begin  ans:=0;  while k>0 do  begin    ans:=ans+tree[k];    k:=k-(k) and (-k);  end;  exit(ans);end;begin  readln(n,m);  for i:=1 to n do  begin    read(a[i]);    add(i,a[i]-a[i-1]);  end;  for i:=1 to m do  begin    read(p);    if p=1 then    begin      readln(x,y,k);      add(x,k);      add(y+1,-1*k);    end else    begin      readln(k);      writeln(sum(k));    end;  end;end.