【概率论】作业五

作业五

151220129 计科 吴政亿

习题四 4

1. (U , V) (1 , 1) (2 , 1) (2 , 2) P 23∗23=49 23∗13∗2=49 13∗13=19
2. E(U)=49∗1+59∗2=149
   e(v)=89∗1+19∗2=109
3. cov(U,V)=E(XY)−E(X)E(Y)
   其中E(XY)=49∗1+49∗2+19∗4=169
   代入得cov(U,V)=169−149∗109=481

习题四 19

E(X+Y)2=D(X+Y)−(E(X+Y))2=D(X)+D(Y)−(EX+EY)
其中由于X与Y服从泊松分布，D(X)=E(X)=1,D(Y)=E(Y)=2
最终得E(X+Y)2=1+2+9=12。

习题四 23

P([X]≥x)≤1f(x)E[f(|X|)]⟺f(x)∗P([X]≥x)≤E[f(|X|)]
设随机变量

E(Y)=P(|X|≥x)f(x)
E[f(|X|)]−E[Y]=E[f(|X|)−Y]≥0⟺f(x)∗P([X]≥x)≤E[f(|X|)]，故得证。

第二题

令，X为不动点的个数。
则E(Xi)=1n
E(X)=E(∑ni=1Xi)=∑ni=1E(Xi)=1
EX2=E(∑ni=1X2i+2∗∑n1≤i≤j≤nXiXj)
=∑ni=1E(X2i)+2∗∑n1≤i<j≤nE(XiXj)
=1+2∗(n2)1n(n−1)=2
∴D(X)=E(X2)−(EX)2=2−1=1

第三题

设X为d天中股票价格上涨的次数，Y为股票d天后的价格，则
P(X=k)=(dk)pkqd−k
E(Y)=∑di=0r2i−dP(X=i)=(r2p+q)drd
D(Y)=E(Y2)−(EY)2=(r4p+q)dr2d−(r2p+q)2dr2d

第四题

1. P(Yi=0)=P(Yi=1)=12
2. 当n=3时，P(Y1Y2Y3)=0,P(Y1)P(Y2)p(Y3)=18≠P(Y1Y2Y3)，故不相互独立。
3. E(YiYj)=1∗E(YiYj=1)+0∗E(YiYj=0)=E(YiYj=1)
   
   • 当Yi,Yj对应的是不同的四个比特时，易得Yi,Yj独立，成立。
   • 当Yi,Yj对应的是不同的三个比特时，不妨设X1为重复的比特，
     另两个比特为X2,X3,E(Yi)=E(X1=1∩X2=1),E(Yj)=E(X1=1∩X3=1)
     则E(YiYj)=P(X1=0∩X2=1∩X3=1)∗1+P(X1=1∩X2=0∩X3=0)∗1
     =14=E(Yi=1)E(Yj=1)E(Yi)E(Yj)

4. P(X=k)=(nk)2−n
   E(Y)=∑ni=0i(n−i)P(X=i)=2−n∑ni=0i(n−i)(ni)=n(n−1)4
   E(Y2)=∑ni=0i2(n−i)2P(X=i)=2−n∑ni=0i2(n−i)2(ni)=n(n−1)(n2−n+2)16
   D(Y)=E(Y2)−EY2=n(n−1)(n2−n+2)16−n2(n−1)216=n(n−1)8

5. 应用切比雪夫不等式有P(|Y−E(Y)|≥n)≤D(Y)n2=n−18n