【概率论】作业三

151220129 计科 吴政亿

一

习题一

第36题

本题满足泊松分布，其中λ=np=100∗5%=5，
通过查表得当k=7时P7=0.867<0.9 ,
当k=8时P8=0.932>0.9，故答案为8条。

习题二

第7题

1. 1(84)=170
2. (103)∗1703∗69707=3.163∗10−4，由于概率过小，所以的确有区分能力

第8题

1. 1−P0−P1−P2−P3=1−0.7565=0.2424。
2. P0=0.0821,P1=0.2052,P2=0.2565,P3=0.2138,
   故一天中最大可能油船数为2条，概率为0.2565。
3. 查表得，当四只时概率为0.8912，五只时概率为0.9580，故为五只。

第19题

Y -4 -1 0 1 8 P 1/8 1/4 1/8 1/6 1/3 Y 0 1/4 4 16 P 1/8 5/12 1/8 1/3 Y −2√/2 0 2√/2 P 1/4 7/12 1/6

习题三

第3题

P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=0)+P(X=3,Y=−1)
=14∗14+18∗12+18∗14=532

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二

负二项分布的分布律为：Pr(X=t)=(t−1k−1)∗pk∗(1−p)t−k

X k k+1 …… t …… P pk kpk(1−p) …… (t−1k−1)pk(1−p)t−k ……

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三

1. 假设当k等于n时该算法成立，那么当k等于n+1时，
   选择最后一个数据的概率为11+n,
   选择前n个中的任一个的概率为n1+n∗1n=11+n，假设成立。
2. 假设有n个数据，第一个数据被留下来的概率为12n−1,
   第k个数据被留下来的概率为(12)n−k+1(n≥2,k≥2)
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   Xk 1 2 …… k …… n P 12n−1 12n−1 …… 12n−k+1 …… 12

四

E(X)=∑∞i=1i∗P(X=i)=∑∞i=1i∗6π2i−2=6π2∑∞i=1i−1
，故X值发散。

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五

对于每一轮游戏，我们成环的个数为0或1个，每轮比少两只手。
当为第i轮时，成环的概率为n−i+1(2n−2(i−1)2),
故环的个数期望E(X)=∑ni=1n−i+1(2n−2(i−1)2)=∑ni=112n−2i+1=H(2n)−12H(n)。

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六

设x1,x2,...,xn为离散型随机变量，下用数学归纳法证明：

1. 当n=2时，E[f(X)]=P1f(x1)+P2f(x2)≥f(P1x1+P2x2)=f(E[X])，成立。
2. 假设n=k-1成立，当n=k时，有
   E[f(X)]=P1f(x1)+P2f(x2)+...+Pnf(xn)=(1−Pn)∑n−1i=1Pif(xi)1−Pn+Pnf(xn)≥(1−Pn)f(∑n−1i=1Pi1−Pnxi)+Pnf(xn)≥f(∑ni=1xi)=f(E[X])，故成立，问题得证。