【概率论】作业八

作业八

151220129 计科 吴政亿

习题五第2题

设随机变量X为终端在使用的数量，则X~B(120,0.05)，
EX=120∗0.05=6,DX=120∗0.05∗0.95=5.7
近似为正态分布有X−65.7√~N(0,1),则P(X≥10)=1−Φ(10−65.7√)≈0.0465

习题五第4题

设随机变量Xi为每个数舍入的误差，X为总的舍入的误差，
1. Xi~U[−0.5,0.5],E(Xi)=0,D(Xi)=112
E(X)=∑ni=1XiP(Xi)=0,D(X)=D(∑ni=1Xi)=n12=125
根据大数定律，X125√~N(0,1)
P(|X|>15)=P(|X125√|>15125√)≈2Φ(−1.34)≈0.18

1. 设最多有n个数，则E(X)=0,D(X)=n12,Xn12√~N(0,1)
   P(|X|<10)=P(|X|n12√<10n12√)=2Φ(10n12√)−1≥0.96
   Φ(10n12√)≥0.98，查表得 10n12√≈2.06,n≈282

习题五第5题

E(X)=∫10xp(x)dx=12,E(X2)=∫10x2p(x)dx=310
D(X)=E(X2)−E(X)2=310−14=120，
∵1n2D(∑nk=1Xk)→0(n→∞),故服从大数定律，
即

limn→+∞1n∑k=1nXk=E(X)=12

习题五第7题

E(lnXi)=∫10lnx∗1dx=xlnx|10−∫10xdlnx=−1
因为E(lnXi)存在，所以{lnXi}服从辛钦大数定律,
lnZn=1n∑ni=1lnXi→P−1,
因为f(x)=ex连续，Zn→P1e.

二

已知Xn→Pa,Yn→Pb, 所以对于∀δ1,δ2,

limn→∞P{|Xn−a|≤δ1}=1

limn→∞P{|Yn−b|≤δ2}=1

因为 g 在 (a,b) 连续, ∀ϵ>0,∃δ1,δ2,

P{|g(Xn,Yn)−g(a,b)|≤ϵ}=P(|Xn−a|≤δ1)P(|Yn−b|≤δ2)

所以有

limn→∞P{|g(Xn,Yn)−g(a,b)|≤ϵ}

=limn→∞P(|Xn−a|≤δ1)P(|Yn−b|≤δ2)=1

g(Xn,Yn)→Pg(a,b)