浅读peano公理

       今天看了陶哲轩实分析，看完Peano公理，刚开始看看一个就觉得这TM也要证明？看完过后感觉确实对于数学的根基有了更深的认识，其实数学演绎中重要的不是1,2,3,等符号，罗马数字与阿拉伯数字的计数标志也同样不一样，甚至可以用一堆！@#￥%&去代表自然数系统，但是他们仍然是isomorphic的（意为同构，意思大概就是可以建立一一映射），这与编码的思想也是一致的。重要的还是系统的游戏规则。

       在规定加法运算中，peano应该也只是为了寻求当时数学理论的基石，建立的加法运算系统是符合我们的实际认知的，我意思是仍然也可以建立不同的规则去建造另一块数学世界，你也可以叫你规定的东西叫加法，乘法等等。其中有几点觉得非常有意思，

       1.     peano将基本操作定义为n++，increment（求后继数），这个操作的确不能更简单

       2.     数学归纳在自然数系统内确实是非常有力的一个武器。

       加法定义中给出了这两个式子，第一个，0+m=m,第二个，在规定了n+m的情况下，(n++)+m=(n+m)++，这种递归的定义就可以确定所有自然数的加法的结果了。下面给出几个看似显然结果的证明，有些书中有，有些是习题

      （1）    对任意自然数n+0=0

        定义中貌似有个跟这个差不多的式子，但仔细一看，是0+n，而不是n+0，很遗憾的是，交换律我们还不知道。于是数学归纳法发挥用处咯。

        证明：上式对于0显然成立，假设对于n成立，

        对于n++，

        (n++)+0=(n+0)++,

         n+0=n,

        故得证

       （2）    n+(m++)=(n+m)++

         如果直接证明交换律，中间就会要证明这个结果，其实道理都一样，数学归纳

         证明：固定m，n=0时，左右两边都是m++，成立

         假设对于n成立，

         对于n++，

          左边：(n++)+(m++)=(n+(m++))++=((n+m)++)++

          右边：((n++)+m)++=((n+m)++)++

          得证

          然后固定n同理。

        （3）    n+m=m+n（交换律）

         证明：首先固定m，n=0时显然成立

         设对于n成立，

         对n++来说

         左边：(n++)+m=(n+m)++

         右边：m+(n++)=(m+n)++,

         因为对n成立，所以由上式对n++也成立，得证

       （4）    (m+n)+k=m+(n+k)

         证明：先固定n，k，m=0成立

         假设对m成立，

         对m++，

         左边：((m++)+n)+k=((m+n)++)+k=((m+n)+k)++

         右边：(m++)+(n+k)=(m+(n+k))++,由证明（2）

         由于对m成立，所以由上式对m++也成立，

         剩余步骤同理

        （5）    n++=n+1

         证明： 1=0++

         n+(0++)=(n+0)++=n++

         得证

         其他的一些也都差不多，就不一一列举了，是不是觉得一切又回归到了熟悉的环境。。。

在乘法运算中，规定的是0*m=0，在规定n*m的情况下，(n++)*m=n*m+m,其他的一些熟悉的交换律结合律用数学归纳也比较容易的推导出来。