Hdu 1573 X问题 拓展欧几里得 解题报告

Problem Description

求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。

Input

输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。

Output

对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。

Sample Input

3
10 3
1 2 3
0 1 2
100 7
3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7
10000 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sample Output

1
0
3

思路

明显是求中国剩余定理解的个数 。
用三个等号表示同余
N===a1(mod r1)
N===a2(mod r2)

以两个为例，则x=a1+r1*x=a2+r2*y，根据后两者就可以建立方程 r1*x-r2*y=a2-a1，扩展欧几里德可搞。
解出x之后 可知N=a1+r1+x，明显这是其中一组解，N+K*（r1*r2）/gcd都是解。

如果有多个，则两两求，新的式子可以写成N===（a1+r1*x）（mod (r1*r2)/gcd）。

最终解出一个答案为b1,循环为a1

代码

#include<iostream>  #include<cstdio>  #include<cstring>  #include<queue>  #include<vector>  #include<cmath>  using namespace std;  const int N=100000+5;long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){    if (b==0) {x=1;y=0;return a;}    long long now=exgcd(b,a%b,x,y),tmp=x;    x=y;    y=tmp-a/b*x;    return now;}int T,n,m,a[10],b[10];  int main(){      scanf("%d",&T);    while(T--)    {        scanf("%d%d",&n,&m);        for (int i=0;i<m;i++)        scanf("%d",&a[i]);        for (int j=0;j<m;j++)        scanf("%d",&b[j]);        long long a1,a2,b1,b2,x,y;        int flag=0;        a1=a[0];b1=b[0];        for (int i=1;i<m;i++)        {            a2=a[i];b2=b[i];            long long now=exgcd(a1,a2,x,y);            if ((b2-b1)%now) {flag=1;break;}            long long t=a2/now;            x=(x*(b2-b1))/now;            x=(x%t+t)%t;            b1=a1*x+b1;            a1=(a1*a2)/now;            b1=(b1%a1+a1)%a1;        }           if (flag||n<b1) printf("0\n");        else printf("%d\n",(n-b1)/a1+1-(b1==0?1:0));    }    return 0;  }