计算熵引发的一些讨论

如下公式为：f(p1,…,pn)=∑ni=0pi∗logpi,其中∑ni=0pi=1，且pi<pi+1
这个式子在p1=p2=...=pn处取得最小值.
其中证明的方式是，构造一个序列，(p11,…,p1n)到(pk1,…,pkn).
构造方法是通过局部调整pi,pi+1的大小。令e=∑ni=0pin,则
(p21,…,p2n)=(e,p11+p12−e,…,p1n)
(p31,…,p3n)=(e,e,p22+p23−e,…,p2n)
(pn−11,…,pn−1n)=(e,e,…,e)
而可以很轻易的证明f(pi1,…,pin)>f(pi+11,…,pi+1n)(原问题从而转化成该问题）
从而证明到对于任意的p1,…,pn,f(p1,…,pn)>f(e,…,e)
但是这种证明方式基于一种幸运之上。因为正好存在这种构造序列的方法，并且这种构造能够轻易证明。
如果我现在假定，构造序列只允许如下操作，对序列中两个数做一次平均操作，即对任意的pi,pj可以构造成pi+pj2,pi+pj2,即(pk1,…,pki,…,pkj,…,pkn)只能转化成(pk+11,…,pk+1j+pk+1j2,…,pk+1j+pk+1j2,…,pk+1n)。
怎么通过有规律的执行该操作来构造序列，经过无限次操作后，序列能够达到(e,e,…,e)的极限，且f(pi1,…,pin)>f(pi+11,…,pi+1n)。
下面构造一种方法，符合上面的条件。
反复执行如下操作(记为A)：

1.p1,p2进行平均
2.p2,p3进行平均
…
n-1.pn−1,pn进行平均

最终会达到极限(e,e…e).注意到Ａ操作事实上是一个线性变换，所以Ａ是一个矩阵。所以An会达到如下极限

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜1n⋮1n⋯⋯⋯1n⋮1n⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟

这个收敛的证明方式，尚且不知。

事实上，上述证明方法是一种很一般的方法的特殊应用。
记Ｍ是一个向量空间。v是Ｍ空间中的一个元素，g将v映射到一个数域空间，g(v)称之为v的标量。p是关于v的谓词,记为p(v).
m将v映射到Ｍ中的另一个元素。
则用m构造一个序列(v1,v2,…,vn),
要证明p(vn),即证明p(v1)成立，且p(vi)成立，则p(vi+1)成立，事实上这是数学归纳法
要证明g(vn)>g(v1),即证明对任意的i,g(vi)>g(vi−1).
这种证明的方式，本质上利用了向量空间的性质。