NOIP-2009 最优贸易

题目描述

C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。

C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 n 个城市的标号从 1~ n，阿龙决定从 1 号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 C 国有 5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为 4，3，5，6，1。

阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在 2 号城市以 3 的价格买入水晶球，在 3号城市以 5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。

阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第 1 次到达 5 号城市时以 1 的价格买入水晶球，在第 2 次到达 4 号城市时以 6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 5。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含 2 个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城市的商品价格。

接下来 m 行，每行有 3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 z=1，表示这条道路是城市 x 到城市 y 之间的单向道路；如果 z=2，表示这条道路为城市 x 和城市y 之间的双向道路。

输出格式：

输出文件 trade.out 共 1 行，包含 1 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出 0。

输入输出样例

输入样例#1：

5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2

输出样例#1：

5

说明

【数据范围】

输入数据保证 1 号城市可以到达 n 号城市。

对于 10%的数据，1≤n≤6。

对于 30%的数据，1≤n≤100。

对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市

水晶球价格≤100。

NOIP 2009 提高组 第三题

题目概要

给定一张图和各点权值，求满足下列条件的ans：

① 1号点可达A点，A点可达B点，B点可达n号点

②A，B可以是1，n号点

③ ans为所有满足条件的A，B中s[B]−s[A]最大值

思路

发现这张图必须提取一条链：

1−>A−>B−>n

所以，要求s[A]尽可能小的同时，要求s[B]尽可能大，且A可达B

这题有好多好多做法：

一个弱智的想法

我一开始想到的方法是用tarjan缩点，每个缩点保存点中最大值最小值，就能保证图中无环，但是由于本人弱智，缩点后的图还是得暴力枚举，扑街

最终的想法

突然想起A必须在B前面，然而A与B在绝大多数时候都不在一起，所以导致我们判断时必须枚举两层（A和B）

那么如果有方法把A和B合到一起呢？

答案我没想到，但我们可以把它们的值合到一起：

把min值从1往n的方向推，把max值从n的方向往1推，最终最优解会在某个点见面，到时候枚举见面的点就可以得到最优解了

一位神犇的做法

但是这样还要建反向边，代码量对于像我这样的蒟蒻还是有点大的

为了简便，我们了解到了cgz dalao 的做法，记忆化搜索

实际上把记忆化用到tarjan后的点中速度会和法2差不多

为dalao献上蒟蒻的丑丑的代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))#define CL(x) memset(x,-1,sizeof(x))template <typename _Tp> inline void read(_Tp &x){    char c11=getchar();x=0;    while(c11<'0'||c11>'9')c11=getchar();    while(c11>='0'&&c11<='9'){x=x*10+c11-'0';c11=getchar();}    return ;}const int maxn=100500,maxm=500050;int s[maxn];int n,m;struct node {int v,nxt;} a[maxm<<1];int head[maxn],p=0;struct node1{int v,nxt;} b[maxm<<1];int head1[maxn],p1=0;int minn[maxn],maxx[maxn];inline void add(int,int);inline void app(int,int);void init();void spfa(){    queue <int> q;    q.push(1);    CL(minn);    minn[1]=s[1];    while(!q.empty()){        int x=q.front();        q.pop();        minn[x]=min(minn[x],s[x]);        for(int i=head[x];i;i=a[i].nxt){            int v=a[i].v;            if(minn[v]==-1||min(minn[x],s[v])<minn[v]){                minn[v]=min(minn[x],s[v]);                q.push(v);            }        }    }    return ;}bool flag=0;void spfa2(){    queue <int> q;    q.push(n);    CL(maxx);    maxx[n]=s[n];    while(!q.empty()){        int x=q.front();        if(x==1)flag=1;        q.pop();        for(int i=head1[x];i;i=b[i].nxt){            int v=b[i].v;            if(max(maxx[x],s[v])>maxx[v]){                maxx[v]=max(s[v],maxx[x]);                q.push(v);            }        }    }    return ;}void work(){    if(flag==0){printf("0\n");return ;}    int rich=0;    for(int i=1;i<=n;i++)if(maxx[i]!=-1&&minn[i]!=-1)        rich=max(rich,maxx[i]-minn[i]);    printf("%d\n",rich);    return ;}int main(){freopen("in.txt","r",stdin);freopen("1.out","w",stdout);    init();    spfa();    spfa2();    work();    return 0;}void init(){    read(n);read(m);    for(int i=1;i<=n;i++)   read(s[i]);    int A,B,C;    for(int i=1;i<=m;i++){        read(A);read(B);read(C);        if(C==2)            add(B,A),app(A,B);        add(A,B);        app(B,A);    }    return ;}inline void add(int u,int v){    a[++p].v=v;    a[p].nxt=head[u];    head[u]=p;    return ;}inline void app(int u,int v){    b[++p1].v=v;    b[p1].nxt=head1[u];    head1[u]=p1;    return ;}