第3章-集合论 3.1-基本事项

数学所研究的一切对象之中，有些是集合

定义、公理、引理与已证命题

• 两个集合 A、B 相等，当且仅当 A 的每个元素 x 属于 B，B 的每个元素 y 属于 A
• 属于关系 ∈ 遵从代入公理；只要可以纯粹使用属于关系定义的运算，都满足代入律
• 存在一个集合 ∅ 叫做空集，对于任意一个对象 x，x∉∅（空集也记作{}）
• 单个选取
• 空集的基数是 0
• 单元素集和双元素集
• 双并：x∈A∪B⟺(x∈A∥x∈B)
• 并运算是结合的
• 子集：A⊆B⟺(∀ x∈A⇒x∈B)
• 真子集：A⊊B⟺A⊆B,A≠B
• 集合的包含关系，使得集合部分地被安排了次序；自然数完全地安排了次序
• 分类公理（分离公理）：∀y∈{x∈A∣P(x) is true}⟺(y∈A,P(y) is true)
• 交：x∈A∩B⟺(x∈A,x∈B)
• 若 A∩B=∅，则说A，B 是不交的
• 有一个集合的元素不是另一个集合的元素，则这两个集合相异
• 差集：A−B=(x∈A,x∉B)
• 替换：z∈{y∣P(x,y) 对于某 x∈A 成立}⟺(对于某 x∈A,P(x,z) 成立)
• {y∣y=f(x) 对于某 x∈A 成立}，简写为 {f(x)∣x∈A}
• 无限：存在一个集合 N，其元素叫作自然数，0 是它的一个对象；由每个自然数 n∈N 所指定的、满足 Peano 公理的对象 n++∈N

习题

1. 依相等的定义证明即可

2. 显然 {∅},{{∅}},{∅,{∅}} 均为非空集合

   {∅}∈{{∅}},{∅}∈{∅,{∅}}，元素不是集合

   ∅∉{{∅}},∅∈{∅,{∅}}，依相等的定义知此二集合不等

3. ∀ x,x∈A∪B⇔x∈A∥x∈B⇔x∈B∥x∈A⇔x∈B∪A

   x∈∅ is always false

4. 据子集和相等的定义可证 A⊆B ,B⊆A⇒A=B

   A⊊B,B⊊C⇒A⊆C

   A⊊B⇒∃ x,x∈B,x∉A（反证即可证明）

   x∈B⇒x∈C，故得 A≠C

5. A⊆B⇒A∪B=B,A⊆B⇒A∩B=A
   x∈A⇒x∈B;x∈B⇒x∈B，故 x∈A∥x∈B⇔x∈B;x∈A,x∈B⇔x∈A
   反之，用反证法可证成立

   显然 B⊆A∪B，又 x∈A⇒x∈B，故 A∪B⊆B
   显然 A∩B⊆A，又 x∈A⇒x∈B，故 x∈(A∩B)，A⊆A∩B
   反之，用反证法可证成立

6. (a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(g) 依定义证明即可

   (f)
   x∈(A∩(B∪C))⇔x∈A,x∈B∥x∈C⇔(x∈B,x∈A)∥(x∈C,x∈A)
   故A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

   x∈(A∪(B∩C))⇒x∈(A∪B),x∈(A∪(B∩C))⇒x∈(A∪C)
   故(A∪(B∩C))⊆((A∪B)∩(A∪C))

   x∈A⇒x∈(A∪B),x∈(A∪C)x∈(B∩C)⇒x∈(A∪B),x∈(A∪C)
   故 (A∪(B∩C))⊆((A∪B)∩(A∪C))

   由前一分配律，可将 x∈((A∪B)∩(A∪C)) 分为 x∈A∩(A∪C));x∈B∩(A∪C)) 两部分
   即为 x∈A;x∈((B∩A)∪(B∩C))，二者结合即为 x∈(A∪(B∩C))
   ​
   (h)
   x∈X∖(A∪B)⇒x∈X,x∉A,x∉B⇒x∈X∖A,X∖B

   余下的不会了

7. 依定义证明即可

8. 显然 A∩(A∪B)⊆A

   又 A⊆A,A⊆(A∪B)⇒A⊆A∩(A∪B)

9. A∩B=∅⇒∀ x,x∈A,x∉B⇒A⊆X∖B

   x∈A∪B,x∉B⇒x∈A

   故 A=X∖B，另一同理

10. (A∖B)∪(A∩B)∪(B∖A)=((A∖B)∪A)∩((A∖B)∪B)∪(B∖A)=A∩(A∪B)∪(B∖A)=A∪(B∖A)=A∪B

11. 取 y=x，余下的不知道了