Bourbaki集合论（3）引论

集　合　论

THÉORIE DES ENSEMBLES

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引　言

      Depuis les Grecs, qui dit mathématiqu edit démonstration; certains doutent même qu’il se trouve, en dehors des mathématiques, des démonstrations au sens précis et rigoureux que ce mot a reçudes Grecs et qu’on entend lui donner ici. On a le droit de dire que ce sens n’apas varié, car ce qui était une démonstration pour Euclide en est toujours uneà nos yeux; et, aux époques où la notion a menacé de s’en perdre et où de cefait la mathématique s’est trouvée en danger, c’est chez les Grecs qu’on en arecherché les modèles. Mais à ce vénérable héritage sont venues s’ajouter depuis un siècle d’importantes conquêtes.

　   希腊人说，数学就是证明。后来有人发现，在数学领域之外还存在其他类型的证明，这种证明和希腊人所说的证明同样精确和严密。（我们下面就会给出这种证明）。自然，人们有权说，证明的意义不会改变，因为欧几里得的证明一向是我们心目中的证明，每当概念面临失去这种意义、数学由此处于危机时，人们正是按照希腊人的方式重新去思考研究证明。但不可否认，一个多世纪以来，数学家们已为这份可敬的遗产增添了许多重大特破性贡献。

    En effet, l’analyse du mécanismedes démonstrations dans des textes mathé­matiques bien choisis a permis d’endégager la structure, du double point de vue du vocabulaire et de la syntaxe.On arrive ainsi à la conclusion qu’un texte mathé­matique suffisammentexplicite pourrait être exprimé dans une langue conven­tionnelle ne comportantqu’un petit nombre de « mots » invariables assemblés suivant une syntaxe quiconsisterait en un petit nombre de règles inviolables : un tel texte est dit formalisé. La description d’une partie d’échecs au moyen de lanotation usuelle, une table de logarithmes, sont des textes formalisés ; lesformules du calcul algébrique ordinaire en seraient aussi, si l’on avaitcomplètement codifié les règles gouvernant l’emploi des parenthèses et qu’ons’y conformât strictement, alors qu’en fait certaines de ces règles nes’apprennent guère qu’à l’usage, et que l’usage autorise à y faire certainesdérogations.

      事实上，通过对那些精心选择的数学文本的分析能发现，证明包含词汇（vocabulaire）和句法（syntaxe）双重基本结构。这种分析导致十分明确的结论，即：充分清晰的数学文本可以用仅含少量固定单字（mots）的平常语言、并按由少数几条规则组合的句法表达出来。这样的文本就叫形式化的文本(Texte Formalisé)。用通常记法描写的棋赛，习惯使用的对数表，都是这种形式化文本的例子。通常的代数计算公式，如果把相关的括号使用规则完全而严格地加入进去，那么也是形式化的文本一个例子。但实际上，其中某些规则从未被清晰地表达，某些含混不清的描述往往是允许的。

      La vérification d’un texteformalisé ne demande qu’une attention en quelque sorte mécanique, les seulescauses d’erreur possibles étant dues à la longueur ou à la complication dutexte; c’est pourquoi un mathématicien fait le plus souvent confiance à unconfrère qui lui transmet le résultat d’un calcul algébrique, pour peu qu’ilsache que ce calcul n’est pas trop long et a été fait avec soin. Par contre,dans un texte non formalisé, on est exposé aux fautes de raisonnement querisquent d’entraîner, par exemple, l’usage abusif de l’intuition, ou leraisonne­ment par analogie. En fait, le mathématicien qui désire s’assurer dela parfaite correction, ou, comme on dit, de la « rigueur » d’une démonstrationou d’une théorie, ne recourt guère à l’une des formalisations complètes dont ondispose aujourd’hui, ni même le plus souvent aux formalisations partielles etincomplètes fournies par le calcul algébrique et d’autres similaires; il secontente en général d’amener l’exposé à un point où son expérience et son flairde mathématicien lui enseignent que la traduction en langage formalisé ne seraitplus qu’un exercice de patience (sans doute fort pénible). Si, comme il arrivemainte et mainte fois, des doutes viennent à s’élever, c’est en définitive surla possibilité d’aboutir sans ambiguïté à une telle formalisation qu’ilsportent, soit qu’un même mot soit employé en des sens variables suivant lecontexte, soit que les règles de la syntaxe aient été violées par l’emploiinconscient de modes de raissonnement non spéci­fiquement autorisés par elles,soit encore qu’une erreur matérielle ait été commise. Ce dernier cas mis àpart, le redressement se fait invariablement, tôt ou tard, par la rédaction detextes se rapprochant de plus en plus d’un texte formalisé, jusqu’à ce que, del’avis général des mathématiciens, il soit devenu superflu de pousser ce travailplus loin; autrement dit, c’est par une comparaison, plus ou moins explicite,avec les règles d’un langage formalisé, que se fait l’essai de la correctiond’un texte mathématique.  

　    验证（vérification）（译注：即阅读和审校）形式化的文本只需要某种形式的机械过程，引入错误的唯一可能原因是文本太长或结构过分复杂。这就是数学家为什么通常都相信别人写的代数演绎结果，只要这种演绎不是过分长并且是细心作成的。 相反，在非形式化的文本中，人们容易从中找到错误推理的危险，例如，不正确地使用了直觉，或使用了类比推理。事实上，在当代，一个数学家如果他希望得到完全正确的或“严格”的证明或理论，希望得到一个完全形式化的理论是办得到的。他几乎可以不求助于其他理论，甚至无需依赖于代数或其他演算提供的不完全的、部份形式化方法，来完成这一工作。但一般来说，他往往会把他的陈述表达到这样一个程度，在这里，他的经验和数学天资告诉他，进一步的形式化翻译已是一个耐心一点就能完成的练习（尽管要做完它无疑还是一种非常繁琐的事情）。而当被考察文本的正确性一次再次出现疑点时，他最终会毫无异议地怀疑：它所翻译成的形式化语言是否存在同一个词在不同的上下文中有不同的意义？或者怀疑在变量使用中是否不自觉地违反了规定的语法规则？再或者是，是否提交了一个错误数据？除了最后一种情况外，校正的过程或迟或早地、总是会趋向于去构建与某种形式化的文本愈来愈相近的文本，直到朝此方向，按数学家们的通常意愿，走到了头。换句话说，数学文本的校正，是将它与形式化语言的规则不断地进行比较来完成的。

      公理化方法，本质上说，就是以简洁明瞭的形式提炼数学文本的一种艺术。这不是什么新发明，      

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