树状数组

树状数组在我刚学时没有熟练掌握，半年后重温树状数组，感觉好了很多。

它是这样的：

假设数组a[1..n]，那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。

来观察这个图：
令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：
C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
...
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16
这里有一个有趣的性质：
设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，
所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An
这样我们就可以用位运算来解决。
x=x&(x^(x-1));
利用补码可化为
x=x&-x;

用c语言可以实现点修改和区间查询这两个操作。

(1)点修改:

void update(int x,int delta){while(x<=n){c[x]+=delta;x+=x&-x;}}

(2)区间查询:

int query(int x){int sum=0;while(x){sum+=c[x];x-=x&-x;}return sum;}

十多行代码,把查询O(n^2)降为O(nlogn),好算法,可以复杂问题简单化,对比线段树来说更方便调试.