BZOJ 3675 [Apio2014]序列分割 动态规划+斜率优化

Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【样例说明】 

在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分： 

1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置 

将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。 

2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数 

字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+ 

3)=36分。 

3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个 

数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)= 

20分。 

经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。 

【数据规模与评分】 

：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

传送门

一开始一脸不可做……后面推了推在L~R内取3个点的式子，

很意外地发现了顺序竟然没什么关系。。

试了试发现怎么取顺序都没有关系了。。。.......

具体就比如说取了3个点分成了4段，分别是a，b，c，d，

那么假如说取中间，再分别取左右，价值是：(a+b)(c+d)+ab+cd

假如说从左到右取，价值是：a(b+c+d)+b(c+d)+cd

展开来吧，一样的。。

然后就可以设计一个dp，

f[i][j]表示前i个数字分了j段的最大价值，

有很多种写法，如果认为从左往右取，那么f[i][j]=max{f[k][j-1]+sum[i+1..n]*sum[k+1..i]}

如果是从右往左取，那么f[i][j]=max{f[k][j-1]+sum[1..k]*sum[k+1..i]}

其实都差不多的。。

然后发现是个O(N^2*K)的算法，，很明显啊，斜率优化。。

具体是啥斜率不说了（雾

因为一直WA后面发现是斜率推错了非常气愤。。

怎么这种题都要推错啊喂。。。

（我会告诉你后面我看了hzw的题解才发现错了的嘛？？）

#include<bits/stdc++.h>#define ll long longusing namespace std;ll read(){    ll x=0LL;char ch=getchar();    while (ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1LL)+(x<<3LL)+ch-'0';ch=getchar();}    return x;}const int    N=100005;int n,K,Q[N];ll a[N],f[2][N];ll calc(int o,int i,int j){    return f[o][j]+(a[i]-a[j])*a[j];}bool ok(int o,int i,int j,int k){    ll t1=a[j]*a[j]-a[i]*a[i]+f[o][i]-f[o][j],t2=a[j]-a[i],      t3=a[k]*a[k]-a[j]*a[j]+f[o][j]-f[o][k],t4=a[k]-a[j];    return t1*t4>t2*t3;}int main(){    n=read(),K=read();    int t=0;    for (int i=1;i<=n;i++){        a[i]=read();        if (a[i]!=0) a[++t]=a[i];}n=t;for (int i=1;i<=n;i++) a[i]+=a[i-1];    for (int j=1;j<=K;j++){        int now=j&1,pre=now^1;        int head=1,tail=0;        for (int i=j;i<=n;i++){            while (head<tail && ok(pre,Q[tail-1],Q[tail],i-1)) tail--;            Q[++tail]=i-1;            while (head<tail && calc(pre,i,Q[head])<calc(pre,i,Q[head+1])) head++;            f[now][i]=calc(pre,i,Q[head]);        }    }    printf("%lld\n",f[K&1][n]);    return 0;}