BZOJ3675 [Apio2014]序列分割 斜率优化

BZOJ3675 [Apio2014]序列分割 斜率优化

Description

将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：
1.首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；
2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。
每次进行上述步骤之后，将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，总得分最大。

题解

发现这一题与分割的顺序无关，可以得到状态转移方程，
钦定f[i][k]表示到i点划分k次的最大得分，sum[]为前缀和。

f[i]=max(f[j][k−1]+sum[j]∗(sum[i−]sum[j]))

k可以用斜率优化，假设h<j<i且j优于h，

f[j][k]−f[h][k]+sum[h]∗sum[h]−sum[j]∗sum[j]>sum[i]∗sum[h]−sum[j]

好吧，不等式右边又是一个负数，所以要注意变号。

#include <stdio.h>#include <cmath>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#define MAXN 100000+10#define LL long longusing namespace std;LL f[MAXN][2],sum[MAXN],a[MAXN];int n,q[MAXN],h,t,k;LL up(int i,int j,int k) {return f[i][k]-f[j][k]+sum[j]*sum[j]-sum[i]*sum[i];}LL down(int i,int j) {return sum[j]-sum[i];}int main(){    scanf("%d%d",&n,&k);    for(int i=1;i<=n;i++)        scanf("%lld",&a[i]),sum[i]+=sum[i-1]+a[i];    for(int j=1;j<=k;j++)    {        int now=j&1,pre=(j-1)&1;        memset(q,0,sizeof(q));        f[0][pre]=0;q[1]=0;h=1;t=2;        for(int i=1;i<=n;i++)        {            while(h<t-1&&up(q[h+1],q[h],pre)>=sum[i]*down(q[h+1],q[h])) h++;            f[i][now]=f[q[h]][pre]+sum[q[h]]*(sum[i]-sum[q[h]]);            while(h<t-1&&up(q[t-1],q[t-2],pre)*down(i,q[t-2])>=up(i,q[t-2],pre)*down(q[t-1],q[t-2]))  t--;            q[t++]=i;        }    }    printf("%lld\n",f[n][k&1]);    return 0;}