【动态规划17】bzoj3675 [Apio2014]序列分割（斜率优化）

为什么apio这么爱出斜率优化的题目..

题目描述

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：
1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；
2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。
每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

输入输出格式

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。
第二行包含n个非负整数a1，a2，…，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。
输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

f[i][p]表示前i个序列分割p次的最大得分
f[i][p]=max(f[i][p],f[k][p−1]+pre[k]∗(pre[i]−pre[k]))
然而这道题bzoj卡内存，观察可以发现f[][k]的取值只与f[][k-1]相关，故循环队列。
转移到f[i][(p+1)&1]时，设k<j<i，且从j转移比从k转移情况更优。
则
f[j][p]+pre[j]∗(pre[i]−pre[j])>f[k][p]+pre[k]∗(pre[i]−pre[k])
f[j][p]−f[k][p]−pre[j]2+pre[k]2>pre[i]∗(pre[k]−pre[j])
pre[i]<f[j][p]−f[k][p]−pre[j]2+pre[k]2pre[k]−pre[j]

别忘了分母非0特判，由于题目中数字非负，所以如果前缀和相同的话，中间的一定都是0，对答案无影响，此时取j与取k效果是一样的。

#include<bits/stdc++.h>#define fer(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)#define far(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)#define ll long longconst int maxn=100010;const int INF=1e9+7;using namespace std;/*----------------------------------------------------------------------------*/inline ll read(){    char ls;ll x=0,sng=1;    for(;ls<'0'||ls>'9';ls=getchar())if(ls=='-')sng=-1;    for(;ls>='0'&&ls<='9';ls=getchar())x=x*10+ls-'0';    return x*sng;}/*----------------------------------------------------------------------------*/ll n,k;ll pre[maxn],f[maxn],g[maxn];int q[maxn];ll calcK(int j,int k){    if(pre[j]==pre[k])return 0;    return (g[j]-g[k]-pre[j]*pre[j]+pre[k]*pre[k])/(pre[k]-pre[j]);}int main(){    n=read();k=read();    fer(i,1,n)pre[i]=read()+pre[i-1];    fer(i,1,k)    {        int h=0,t=0;        fer(j,i,n)        {            while(h<t&&calcK(q[h],q[h+1])<pre[j])h++;            f[j]=g[q[h]]+pre[q[h]]*(pre[j]-pre[q[h]]);            while(h<t&&calcK(q[t-1],q[t])>calcK(q[t],j))t--;            q[++t]=j;        }        fer(j,i,n)g[j]=f[j];    }    cout<<f[n];}