树状数组浅析
来源：互联网 发布：linux 挂载iso什么意思 编辑：程序博客网 时间：2024/06/08 16:38
转自：http://www.cnblogs.com/frankchenfu/p/7132445.html
树状数组
动态连续和查询问题。给定一个n个元素的数组a1、a2、……，an，设计一个数据结构，支持以下两种操作：1、add(x,d):让ax增加d;2、query(l,r)：计算al+al+1+…+ar
如何让query和add都能快速完成呢？方法有很多，这里介绍的便是树状数组。为此我们先介绍lowbit。
对于正整数x，我们定义lowbit(x)为x的二进制表达式中最右边的1所对应的值(而不是这个比特的序号)。比如，38288的二进制1001010110010000，所以lowbit(38288)=16(二进制是10000)。在程序中，lowbit(x)=x&-x，计算机里的整数采用补码表示，因此-x实际上是x按位取反后末尾加1的结果如下：
38288=1001010110010000
-38288=0110101001110000
二者按位取与后，前面的部分全部变为0，之后lowbit保持不变。接下来看一张图
对于节点i，如果它是左子节点，那么他的父节点编号为i+lowbit(i);如果它是右子节点，那么父节点的编号为i-lowbit(i)。我们设辅助数组C[k]存储的是从k开始lowbit(k)个元素的和，即C[i]=A[i]+A[i-1]+…+A[i-2^k+1]。
有了以上预备知识做铺垫我们就能进行一下操作了！！
一、单点修改+区间查询
思路：假设修改第i个数即A[i],增量为num，则只需从C[i]开始往右走，沿途修改所有节点对应的C[i]（即包含A[i]的区间）;而求和sum(i)=A[1]+A[2]+…+A[i],则i到j的和为sum(j)-sum(i-1);
模板题：https://www.luogu.org/problem/show?pid=3374
#include<iostream>#include<cstdio>#define maxn 500005using namespace std;int a[maxn],b[maxn],n,m; //a为原数组，b为辅助数组inline int getint() //读入优化{ int a=0;char x=getchar();bool f=0; while((x<'0'||x>'9')&&x!='-')x=getchar(); if(x=='-')f=1,x=getchar(); while(x>='0'&&x<='9'){a=a*10+x-'0';x=getchar();} return f?-a:a;}void update1(int k,int num) //k为需要修改第几个数，num为增量{ while(k<=n) { b[k]+=num; k+=k&-k; }}int read(int k) //求和{ int sum=0; while(k){sum+=b[k];k-=k&-k;} return sum;};int main(){ n=getint(),m=getint(); for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=getint();update1(i,a[i]);} //初始化b数组 while(m--) { int x,y,z=getint(); if(z==2){x=getint();y=getint();printf("%d\n",read(y)-read(x-1));} //区间求和 else {x=getint();y=getint();update1(x,y);} //单点修改 } return 0;}二、区间修改+单点查询
思路：我们设置辅助数组C[i]=A[i]-A[i-1],容易得出第i个数为sum(i)=C[1]+C[2]+…C[i];至于区间修改，假设修改区间为[i，j]、增量k，我们只需将C[i]+k的同时C[j+1]-k即可
模板题：https://www.luogu.org/problem/show?pid=3368
#include<iostream>#include<cstdio>#define maxn 500005using namespace std;int a[maxn],b[maxn],n,m;inline int getint() //读入优化{ int a=0;char x=getchar();bool f=0; while((x<'0'||x>'9')&&x!='-')x=getchar(); if(x=='-')f=1,x=getchar(); while(x>='0'&&x<='9'){a=a*10+x-'0';x=getchar();} return f?-a:a;}void update1(int k,int num) //不想多说了下面都同上一个代码的注释，主要是思路不同{ while(k<=n) { b[k]+=num; k+=k&-k; }}int read(int k){ int sum=0; while(k){sum+=b[k];k-=k&-k;} return sum;};int main(){ n=getint(),m=getint(); for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=getint();update1(i,a[i]-a[i-1]);} while(m--) { int x,y,z=getint(),q; if(z==2){x=getint();printf("%d\n",read(x));} else {x=getint();y=getint();q=getint();update1(x,q);update1(y+1,-q);} } return 0;}三、区间修改+区间查询
思路：（很有趣的数学呵呵～）设置b[i]=a[i]-a[i-1]，则有等式：
a[1]+a[2]+...+a[n]
= (b[1]) + (b[1]+b[2]) + ... + (b[1]+b[2]+...+b[n])
= n*b[1] + (n-1)*b[2] +... +b[n]
= n * (b[1]+b[2]+...+b[n]) - (0*b[1]+1*b[2]+...+(n-1)*b[n])
所以我们就维护一个数组c[n]，其中c[i] = (i-1)*b[i],每当修改b的时候，就同步修改一下c，这样复杂度就不会改变那么原式=n*sigma(b,n) - sigma(c,n)//sigma(b,n)表示b数组前n个数的和（时间复杂度为log2n）
模板：自己找一个（区间修改+区间查询）线段树的模板题吧！～～
#include<iostream>#include<cstdio>#define maxn 100005using namespace std;int a[maxn],b[maxn],c[maxn],n,m;inline int getint(){ int a=0;char x=getchar();bool f=0; while((x<'0'||x>'9')&&x!='-')x=getchar(); if(x=='-')f=1,x=getchar(); while(x>='0'&&x<='9'){a=a*10+x-'0';x=getchar();} return f?-a:a;}void update(int *x,int k,int num){ while(k<=n) { x[k]+=num; k+=k&-k; }}int read(int *x,int k){ int sum=0; while(k){sum+=x[k];k-=k&-k;} return sum;}int main(){ n=getint(),m=getint(); for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=getint();update(b,i,a[i]-a[i-1]);update(c,i,(i-1)*(a[i]-a[i-1]));} while(m--) { int x,y,z=getint(),q; if(z==2){x=getint();y=getint();printf("%d\n",y*read(b,y)-read(c,y)-(x-1)*read(b,x-1)+read(c,x-1));} else {x=getint();y=getint();q=getint();update(b,x,q);update(b,y+1,-q);update(c,x,q*(x-1));update(c,y+1,-q*y);} } return 0;}四、求逆序数对
思路：了解离散化，它是一种常用的技巧，有时数据范围太大，可以用来放缩到我们能处理的范围，必要的是建立一个结构体a[n]，v表示输入的值，order表示原i值，再用一个数组aa[n]存储离散化后的值
例如：
i：1 2 3 4 5
v: 9 0 1 5 4
排序后:0 1 4 5 9
order:2 3 5 4 1 如果建立映射：aa[a[i].order]=i;
aa:5 1 2 4 3
即原本的9经过排序应该在第5位，现在aa[1]=5，对应原来的9，大小次序不变，只是将9缩小到了5 那么离散化之后怎么求逆序对呢？说实在的我这里想了很久，首先是通过update函数插入一个数，比如update(2,1),一开始都c[n]为0,插入后+1
，现在其余的为0，c[2],c[4]=1,这就说明前面下标为2出有一个数2，这里是关键，c[4]=1不代表下标为4时有一个数4，它的意思是在4之前的区间内所有元素之和是1，即有一个数2，具体的可以看看树状图
然后只有用getsum实时求出插入一个数的前面有几个数，就可以算出当前小于这个数的数的个数，再通过下标i-getsum(aa[i]),得到大于它的数目，即为逆序数。
模板：POJ2299
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn= 500005;int aa[maxn];//离散化后的数组int c[maxn]; //树状数组int n;struct Node{ int v; int order;}a[maxn];bool cmp(Node a, Node b){ return a.v < b.v;}int lowbit(int k){ return k&(-k); //基本的lowbit函数 }void update(int t, int value){ //即一开始都为0，一个个往上加（+1）， int i; for (i = t; i <= n; i += lowbit(i)) c[i] += value; }int getsum(int t){ //即就是求和函数，求前面和多少就是小于它的个数 int i, sum = 0; for (i = t; i >= 1; i -= lowbit(i)) sum += c[i]; return sum;}int main(){ int i; while (scanf("%d", &n), n) { for (i = 1; i <= n; i++) //离散化 { scanf("%d", &a[i].v); a[i].order = i; } sort(a + 1, a + n + 1,cmp);//从1到n排序,cmp容易忘 memset(c, 0, sizeof(c)); for (i = 1; i <= n; i++) aa[a[i].order] = i; long long ans = 0; for (i = 1; i <= n; i++) { update(aa[i], 1); ans += i - getsum(aa[i]); //减去小于的数即为大于的数即为逆序数 } printf("%lld\n", ans); } return 0;}五、区间最大值
思路：自己yy吧，有点像倍增～～
inline void init() { CLR(arr,0); for(int i=1;i<=N;++i) for(int j=i;j<=N&&arr[j]<num[i];j+=lowbit(j)) arr[j]=num[i]; } inline int query(int L,int R) { int res=0; for(--L;L<R;){ if(R-lowbit(R)>=L){res=max(res,arr[R]);R-=lowbit(R);} else{res=max(res,num[R]);--R;} } return res; } inline void update(int x,int val) { int ori=num[x]; num[x]=val; if(val>=ori) for(int i=x;i<=N&&arr[i]<val;i+=lowbit(i)) arr[i]=val; else{ for(int i=x;i<=N&&arr[i]==ori;i+=lowbit(i)) { arr[i]=val; for(int j=lowbit(i)>>1;j;j>>=1) arr[i]=max(arr[i],arr[i-j]); } } }
