【noip 2015】运输计划

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题目的意思是：求将一棵树上的任意一条边权赋值为0时，所有航线的最长长度的最小值
想到二分答案
如何验证？
既然我们二分的答案是最长路线，也就是说，在将一条边权赋值为0之后，所有的路线长度应该都小于等于mid。但是只能删掉一条边，所以这条边是所有删边之前长度小于mid的路线的交边。问题转化为，能否找到一条边，被所有长度大于mid的路线经过。所以我们要统计每一条边被经过的次数。统计的方法便是树上差分了。需要把边的信息映射到点上面去，也就是把边的权值映射为儿子节点的点权。在差分时，路线两端点各+1，两点的lca-2，从子节点一直求前缀和，到根节点，便求出了每条边的经过次数。此外，在求前缀和时，如果每次都dfs一遍，可能会超时，但是父节点和子节点的序号大小是没有关系的，不好直接遍历。为了方便，我们求每一个点的dfs序，由于子节点的dfs序一定大于父亲节点，所以按照dfs序的大小直接for一遍求前缀和。最后，把所有点权for一遍，如果存在某一个经过次数恰好为长度大于mid的路径的条数，切它的权值大于等于各点权与mid的最大差值（也就是说，如果去掉它，一定保证所有的路线长度不超过mid），这时mid是合法的，二分左区间，找更小的答案。

以上是我自己打的解析。
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来看一下dalao的题解（写的还是蛮好的）：

满分做法：
官方正解：
1.tarjan离线求lca+二分+树上差分;
2.树链剖分+二分+树上差分+dfs序;
Ps:树链剖分求lca的代码量比倍增小，并且效率高, 并且不难，建议大家学一下;
说一下第二种解法：
明确:
1.我们要删的边一定在最长路线上;
2.我们将边的信息映射到点上，也就是说儿子与父亲的边的信息，我们放在了儿子身上;
首先，最大值最小化，我们可以想到二分这个最大路线长度;
假设我们已经二分出一个mid：删边后最大路线的长度;
1.所有大于mid的路线都必须删去一条边，使之小于或等于mid；
2.总共只能删一条边；
联立1,2得：
我们要删的边出现在所有大于mid的线路上，删去这条边，原本最长的路线要等于mid,其他路线小于mid；
此时我们的mid是合法答案；
如何求一条边被所有路线经过的次数？
树上差分！
对于条路线，我们将它起点的边+1，终点的边+1，lca上面的边-2；
最后求一遍树上前缀和，就可以得到答案；
但是，如果我们每次都从根节点dfs一遍求前缀和，它的复杂度虽然是O(n)，但递归会耗费大量时间，会被卡掉最后一个点；所以我们考虑用dfs序来求解；
在处理树上信息时顺便求出dfs序；
然后我们从后往前求前缀和就可以了，这样是没有后效性的，因为我们dfs时先访问父亲，再访问儿子，父亲的dfs序必然小于它儿子的dfs序，如果从后往前，必然先更新儿子，再更新父亲，复杂度是常数很小的O(n)；
总复杂度：O(nlogn);

PS：这道题调试了很久，最后才发现挂在了lca上。求fa数组时，for循环的顺序一定不要搞错！因为父亲节点的序号和子节点的序号没有大小关系！如果把枚举节点序号放在外层循环，序号小的不一定是序号大的的父节点！

代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;const int maxn=300000+10;int n,m,cnt,Index,l=-1,r,ans;int fist[maxn],nxt[maxn<<1],rank[maxn],deep[maxn],dfn[maxn];int fa[maxn][22],vpoint[maxn],cha[maxn];struct hh{    int f,t,v;}e[maxn<<1];struct lxt{    int f,t,len,lca;}ee[maxn];void build(int f,int t,int v){    e[++cnt]=(hh){f,t,v};    nxt[cnt]=fist[f];    fist[f]=cnt;}int make_lca(int x,int y){    if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);    for(int i=log2(n);i>=0;--i)      if(deep[fa[x][i]]>=deep[y])        x=fa[x][i];    if(x==y) return x;    for(int i=log2(n);i>=0;--i)      if(fa[x][i]!=fa[y][i])      {        x=fa[x][i];        y=fa[y][i];      }    return fa[x][0];}void dfs(int f,int t,int v){    fa[t][0]=f;    deep[t]=deep[f]+1;    rank[t]=v;    dfn[++Index]=t;    for(int i=fist[t];i!=-1;i=nxt[i])      if(e[i].t!=f)      {        vpoint[e[i].t]=e[i].v;        dfs(t,e[i].t,v+e[i].v);      }}void done(){    for(int i=1;i<=log2(n);++i)       for(int j=1;j<=n;++j)          fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];}bool check(int mid){    int maxx=0,tot=0;    memset(cha,0,sizeof(cha));    for(int i=1;i<=m;++i)      if(ee[i].len>mid)      {        tot++;        maxx=max(maxx,ee[i].len-mid);        cha[ee[i].f]++;        cha[ee[i].t]++;        cha[ee[i].lca]-=2;      }    if(!tot) return true;    for(int i=n;i>=1;--i) cha[fa[dfn[i]][0]]+=cha[dfn[i]];    for(int i=2;i<=n;++i)      if(cha[i]==tot&&vpoint[i]>=maxx) return true;    return false;}int main(){    memset(fist,-1,sizeof(fist));     scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<n;++i)    {        int a,b,t;        scanf("%d%d%d",&a,&b,&t);        r+=t;        build(a,b,t);        build(b,a,t);    }    dfs(0,1,0);    done();    for(int i=1;i<=m;++i)    {        int f,t,len,lca;        scanf("%d%d",&f,&t);        lca=make_lca(f,t);        len=rank[f]+rank[t]-2*rank[lca];        ee[i]=(lxt){f,t,len,lca};    }    while(r-l>1)    {        int mid=(l+r)>>1;        if(check(mid)) r=mid;        else l=mid;    }    if(check(l)) ans=l;    else ans=r;    printf("%d",ans);    return 0;}