筛选质数

关于怎么判断一个数 n 是否是质数，最简单的方法是枚举 2 到 $n-1$，判断是否是 n 的约数。如果是， n 肯定不是一个质数。再仔细想想，如果 a 是 n 的一个约数，那么必然有一个$b$ 满足 $ab=n$，a≤√​n​​​ 和 b≤√​n​​​ 中必然有一个成立，因为如果a>√​n​​​ 并且 b>√​n​​​，那么 $ab>n$，和 $ab=n$ 矛盾。因此如果 $n$ 是一个合数，那么我们只需要枚举到 √​n​​​ 就一定能找到 $n$的一个约数。否则，$n$ 肯定是一个质数。下面是代码：

int is_prime(int n){   for(int i = 2; i * i <= m; i++)      if(n % i == 0)         return 0;//不是质数    return 1;//是质数}

更多的时候，需要预处理出一段区间上的质数，如果按照之前的方法一个一个判断，时间上肯定会承受不了。于是提出了一种预处理1到N上质数的算法，称为 Eratosthenes 筛选。

素数筛选算法的基本思想是我们先假设 2 到 N 所有数都是素数。我们从 2 开始扫描，对于一个数 i，可以得到$2i,3i\; \dots \dots ki$ 都不是素数，因为这些数都有 i 这个因子，表示这些数不是素数，一直枚举到 N。对于每一个合数，它至少会被它的一个因子枚举到，所以可能证明这个算法的正确性。接下来分析时间复杂度，对于每个 i，枚举的次数为 n / i​​，所以总时间复杂度为N/2 + N/3 + … + N/N = O(NlgN) 。

       下面是代码：

for(int i = 2; i <= n; i++){   is_prime[i] = 1; }for(int i = 2; i <= n; i++){   for(int j = i * 2; j <= n; j += i)      {         is_prime[j] = 0;      }}

       上面的代码便筛选出来了 n 以内的素数，如果 is_prime[i] = 1，i 是素数，否则 i 是合数。上面的代码还可以优化。第一是基于每个合数必然有一个质因子，所以我们可以只用质数来筛选，第二是 j 的初始条件可以写成j=i*i，因为比如j=i*k(k<i)，那么 j 肯定被k 筛选掉了。第三是可以只用√​n​​​ 之前的质数去筛选。优化之后的时间复杂度比$\mathcal{O}(N\lg N)$还要低得多。优化以后的代码如下：

for(int i = 2; i <= n; i++){   is_prime[i] = 1;}for(int i = 2; i * i <= n; i++){   if(is_prime[i])   {         for(int j = i * i; j <= n; j += i)      {         is_prime[j] = 0;      }   }}