LuoguP2679[NOIP2015] 子串 解题报告【多维DP】

题目描述
有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串,然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一 个新的字符串,请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等?注意:子串取出 的位置不同也认为是不同的方案。
输入输出格式
输入格式：
输入文件名为 substring.in。
第一行是三个正整数 n,m,k,分别表示字符串 A 的长度,字符串 B 的长度,以及问题描述中所提到的 k,每两个整数之间用一个空格隔开。 第二行包含一个长度为 n 的字符串,表示字符串 A。 第三行包含一个长度为 m 的字符串,表示字符串 B。
输出格式：
输出文件名为 substring.out。 输出共一行,包含一个整数,表示所求方案数。由于答案可能很大,所以这里要求[b]输出答案对 1,000,000,007 取模的结果。[/b]
输入输出样例
输入样例#1：
6 3 1
aabaab
aab
输出样例#1：
2
输入样例#2：
6 3 2
aabaab
aab
输出样例#2：
7
输入样例#3：
6 3 3
aabaab
aab
输出样例#3：
7
说明

对于第 1 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=1;
对于第 2 组至第 3 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=2;
对于第 4 组至第 5 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=m;
对于第 1 组至第 7 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,1≤k≤m;
对于第 1 组至第 9 组数据:1≤n≤1000,1≤m≤100,1≤k≤m;
对于所有 10 组数据:1≤n≤1000,1≤m≤200,1≤k≤m。
解题报告
我们显然可以看出这是一道动态规划。按照NOIP的一贯尿性，必然是一个状态定义相对复杂，数组的维度比较多的这么一个转移。
我们定义dp[i][j][k][0/1]表示A字符串的前i位，B字符串的前j位，总共用了k个子串，a[i]不一定选/一定选的方案数。
对于a[i]一定被选的情况，a[i]要么在前一个串中，要么在新开的一个串中，又因为若是a[i]在新开的串里面，a[i-1]不一定被选中。那么就有：
dp[i][j][k][1]=dp[i−1][j−1][k][1]+dp[i−1][j−1][k−1][0];(a[i]=b[j])
对于a[i]不一定被选的情况，a[i-1]不一定被选/一定被选，那么：
dp[i][j][k][0]=dp[i−1][j][k][0]+dp[i−1][j][k][1];(a[i]=b[j])
又因为空间限制，我们不能够开这么大一个数组，就有两个解决办法，一个是开滚动数组，另一个就是像背包问题一样强行降维，具体的讲就是在枚举j的时候倒着来。
代码如下：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int N=1000,M=200,mod=1e9+7;int dp[M+5][M+5][2];char a[N+5],b[M+5];int n,m,K;int main(){    scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);    scanf("%s%s",a+1,b+1);    dp[0][0][0]=1,dp[0][0][1]=1;    for(int i=1;i<=n;i++)    for(int j=m;j>=1;j--)    for(int k=1;k<=K;k++)    {        if(a[i]!=b[j]){dp[j][k][1]=0;continue;}        dp[j][k][1]=(dp[j-1][k][1]%mod+dp[j-1][k-1][0]%mod)%mod;        dp[j][k][0]=(dp[j][k][0]%mod+dp[j][k][1]%mod)%mod;    }    printf("%d",dp[m][K][0]);    return 0;}