【uoj#149】【NOIP2015】子串 DP

uoj复制好像能放大的都复制两遍…直接丢链接吧：#149. 【NOIP2015】子串

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题意是说给你一个a串一个b串，从a串中挑出k个互不重叠的子串按顺序连接使得得到的串和b串一样…

OI生涯中直到现在最惨痛的经历，除了运输计划没有之一…这题我以为string慢，把30分骗分给我卡到10分…不想说什么了……

说正解。设dp[i][j][k][0/1]表示a串匹配到第i个字符，b串匹配到第j个字符，当前选了k个子串，全部/选中a串第i个字符 的方案总数。

然后开始用最长公共子序列的想法去想：

当a[i]=b[j]时：

dp[i][j][k][1]=dp[i−1][j−1][k][1]+dp[i−1][j−1][k−1][0]dp[i][j][k][0]=dp[i−1][j][k][0]+dp[i][j][k][1]

一个个解释一下：

对于第一个式子，因为当前两字符相同，有两种情况：要么这个字符自己占一个子串（dp[i−1][j−1][k−1][0]），要么和前一个字符连起来占一个子串（如果有的话）。后者的选中子串数目并没有增多，但要求第i-1个字符必须被选，所以方案数是dp[i−1][j−1][k][1]。

对于第二个式子，匹配到第i个字符总的方案数就是没选到第i个字符（上一阶段）的总方案数（dp[i−1][j][k][0]）和选中第i个字符的总方案数（dp[i][j][k][1]）。

然后对于a[i]!=b[j]时：

dp[i][j][k][0]=dp[i−1][j][k][0]dp[i][j][k][1]=0

第二个式子显然，第一个式子因为第i个字符没贡献所以直接继承上一阶段的方案数。

然后现在dp方程就有了：

dp[i][j][k][1]={dp[i−1][j−1][k−1][0]+dp[i−1][j−1][k][1]0if a[i] = b[j]otherwisedp[i][j][k][0]={dp[i−1][j][k][0]+dp[i][j][k][1]dp[i−1][j][k][0]if a[i] = b[j]otherwise

答案是dp[N][M][K][0]。

然而会爆空间。

//卧槽这题还有完没完了

跟优化01背包的思路一样，可以把第一维优化掉，把j和k的顺序倒序for就行了。

这题dp真丧病…

优化前（爆空间）：

#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;const int SZ = 1000010;const int mod = 1000000007;int n,m,K;char a[SZ],b[SZ];int dp[1010][210][210][2];int DP(){    dp[0][0][0][0] = 1;    for(int i = 1;i <= n;i ++)    {        dp[i][0][0][0] = 1;        for(int j = 1;j <= m;j ++)        {            for(int k = 1;k <= K;k ++)            {                if(a[i] == b[j])                {                    dp[i][j][k][1] = (dp[i - 1][j - 1][k - 1][0] + dp[i - 1][j - 1][k][1]) % mod;                    dp[i][j][k][0] = (dp[i - 1][j][k][0] + dp[i][j][k][1]) % mod;                }                else                    dp[i][j][k][0] = dp[i - 1][j][k][0];            }        }    }       return dp[n][m][K][0];}int main(){    freopen("substring.in","r",stdin);    freopen("substring.out","w",stdout);    scanf("%d%d%d%s%s",&n,&m,&K,a + 1,b + 1);    printf("%d",DP());    return 0;}

优化后：

#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;const int SZ = 1000010;const int mod = 1000000007;int n,m,K;char a[SZ],b[SZ];int dp[210][210][2];int DP(){    dp[0][0][0] = 1;    for(int i = 1;i <= n;i ++)    {        for(int j = m;j >= 1;j --)        {            for(int k = K;k >= 1;k --)            {                if(a[i] == b[j])                {                    dp[j][k][1] = (dp[j - 1][k - 1][0] + dp[j - 1][k][1]) % mod;                    dp[j][k][0] = (dp[j][k][0] + dp[j][k][1]) % mod;                }                else                    dp[j][k][1] = 0;            }        }    }           return dp[m][K][0];}int main(){    scanf("%d%d%d%s%s",&n,&m,&K,a + 1,b + 1);    printf("%d",DP());    return 0;}