<（扩展域/加权）并查集>NOI 2001 食物链

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题目描述 Description

动物王国中有三类动物 A,B,C，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。A吃B，B吃C，C吃A。 　　
现有N个动物，以1－N编号。每个动物都是A,B,C中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。 　　
有人用两种说法对这N个动物所构成的食物链关系进行描述：
第一种说法是“1 X Y”，表示X和Y是同类。 　　
第二种说法是“2 X Y”，表示X吃Y。 　　
此人对N个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出K句话，这K句话有的是真的，有的是假的。当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。 　
1） 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话； 　
2） 当前的话中X或Y比N大，就是假话； 　　
3） 当前的话表示X吃X，就是假话。 　　
你的任务是根据给定的N（1<=N<=50,000）和K句话（0<=K<=100,000），输出假话的总数。

输入描述 Input Description

第一行是两个整数N和K，以一个空格分隔。 　　
以下K行每行是三个正整数D，X，Y，两数之间用一个空格隔开，其中 D 表示说法的种类。 　　
若D=1，则表示X和Y是同类。 　　
若D=2，则表示X吃Y。

输出描述 Output Description

只有一个整数，表示假话的数目。

样例输入 Sample Input

100 7
1 101 1
2 1 2
2 2 3
2 3 3
1 1 3
2 3 1
1 5 5

样例输出 Sample Output

3

数据范围及提示 Data Size & Hint

输入文件
对7句话的分析 100 7
1 101 1　　假话
2 1 2　　 真话
2 2 3　　 真话
2 3 3　　 假话
1 1 3　　 假话
2 3 1　　 真话
1 5 5　　 真话

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Solution 1：加权并查集

• 权值
  用rank数组表示：
  对于任意一个集合：
  1.根节点权值为0
  2.吃根节点的权值为2
  3.被根节点吃的权值为1
  注意：在未路径压缩时，子节点的权值表示的是和它父亲的关系

• find操作
  对于普通的并查集，我们可以直接一路找到根节点实现路径压缩。但是加权并查集不能这样啊。
  
  对于这样一次查找操作，目前，rank[x]的值是相对于fa[x]的关系。我们要把x合并到fa[fa[x]]上去，就要改变rank[x]的值。
  由于三种物种组成的关系呈三角形，我们可以用向量的思维来思考这个问题。
  先来直观感受一下，如图，假设rank[x]==1,rank[fa[x]]==2,rank[fa[fa[x]]]==0
  rank[x]==1说明fa[x]吃x，而rank[fa[x]]==2说明fa[x]吃fa[fa[x]]，所以x和fa[fa[x]]是同类，所以当x指向fa[fa[x]]时，rank[x]=0 。
  其实不难发现rank[x]=(rank[x]+rank[fa[x]])%3 ，通过向量，这个关系式显然。

• merge操作
  对于两个并查集的合并，不仅要改变fa数组的值，还要改变rank[fa[x]]
  
  如图，要合并x所在的集合和y所在的集合。
  对于已经输入的语句： （设合并后y的权值为rank[y]’）
  1.如果x和y是同类即d==1。也就是说合并后，y指向fa[x]时的rank[x]==rank[y]’ ①，也就是图中的蓝色线应等于x指向fa[x]的线。
  由向量相加可得：
  (rank[y]+rank[fa[y]])%3=rank[y]’②；
  联立①②两式可得：(rank[y]+rank[fa[y]])%3=rank[x]
  等式变形可得：rank[fa[y]]=(rank[x]-rank[y])%3;
  又因为在C++中，模运算有可能得到负数，所以最后的赋值语句就是：rank[fa[y]]=rank(rank[x]-rank[y]+3)%3;
  2.如果x吃y即d==2。因为对于吃与被吃的关系，如果x吃y，前面已经得出，合并后y和x的关系应为:rank[y]’=(rank[x]+1)%3①。同样根据向量的知识得：(rank[y]+rank[fa[y]])%3=rank[y]’②
  联立①②得：(rank[y]+rank[fa[y]])%3=(rank[x]+1)%3
  等式变形得：rank[fa[y]]=(rank[x]-rank[y]+1)%3
  同样防止变为负数，再加3：
  rank[fa[y]]=(rank[x]-rank[y]+1+3)%3
  综上：每次合并只改变合并前集合的父节点的rank值，后面的子节点就在路径压缩中自己更新了

• 对于本题：
  1.如果输入的语句表示x > n或y > n或 x吃x 直接ans++
  2.如果两个不在一个集合里，肯定是真话，并且合并集合
  3.如果两个在同一个集合里，判断两者是否符合读入的关系，如果不符合，ans++
  至于如何判断在同一个集合里的两个节点是否符合关系：
  很简单：
  1）如果d==1，x和y是同类，查看是否rank[x]==rank[y]
  2）如果d==2，x吃y，查看是否rank[y]==(rank[x]+1)%3
  代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=100000+50;int n,k,ans;int fa[maxn],rank[maxn];int find(int x){    if(fa[x]==x) return x;    int f=fa[x];    fa[x]=find(fa[x]);    rank[x]=(rank[x]+rank[f])%3;    return fa[x];}bool check(int d,int x,int y){    int f1=find(x),f2=find(y);    if(f1==f2)    {        if(d==1)        {            if(rank[x]==rank[y]) return true;            return false;        }        else        {            if(rank[y]==(rank[x]+1)%3) return true;            return false;        }    }    else    {        fa[f2]=f1;        if(d==1) rank[f2]=(rank[x]-rank[y]+3)%3;        else rank[f2]=(rank[x]-rank[y]+1+3)%3;        return true;    }}int main(){    int n,k;    scanf("%d%d",&n,&k);    for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;    for(int i=1;i<=k;++i)    {        int d,x,y;        scanf("%d%d%d",&d,&x,&y);         if(x>n||y>n||(d==2&&x==y)) ans++;        else if(!check(d,x,y)) ans++;    }    printf("%d",ans);    return 0;}

其实有一个巧妙的改变，可以节省代码量：
观察：
1.合并操作中：
d==1时，rank[fa[y]]=(rank[x]-rank[y]+3)%3
d==2时，rank[fa[y]]=(rank[x]-rank[y]+1+3)%3
其实直接可以省略为：rank[fa[y]]=(rank[x]-rank[y]+d-1+3)%3
即：rank[fa[y]]=(rank[x]-rank[y]+d+2)%3
2.验证关系是否符合时：
d==1时，rank[x]==rank[y]
d==2时，rank[y]==(rank[x]+1)%3
可以直接省略为：rank[y]==(rank[x]+d-1)%3
所以check函数就可以这样写了：

bool check(int d,int x,int y){    int f1=find(x),f2=find(y);    if(f1==f2)    {        if(rank[y]==(rank[x]+d-1)%3) return true;        return false;    }    else    {        fa[f2]=f1;        rank[f2]=(rank[x]-rank[y]+d+2)%3;        return true;    }}

Solution 2：扩展域并查集

三倍空间
fa[x] x的同类域
fa[x+n] 吃域
fa[x+2*n] 被吃域
每次合并或查询时直接查询就可以了。
就是有点麻烦，很容易混，多想想就好了
不多说
上代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=50000+10;int n,k,ans;int fa[maxn*3];int find(int x){    if(fa[x]==x) return x;    return fa[x]=find(fa[x]);} bool check(int d,int x,int y){    int x1,x2,x3,y1,y2,y3;    x1=find(x);//同类域     x2=find(x+n);//吃域     x3=find(x+(n<<1));//被吃域     y1=find(y);    y2=find(y+n);    y3=find(y+(n<<1));    if(d==1)    {        if(x2==y1||x1==y2) return false;        fa[x1]=y1;        fa[x2]=y2;        fa[x3]=y3;        return true;    }    else    {        if(x3==y1||x1==y1) return false;        fa[x1]=y3;        fa[x2]=y1;        fa[x3]=y2;        return true;    }}int main(){    scanf("%d%d",&n,&k);    for(int i=1;i<=n*3;++i) fa[i]=i;    for(int i=1;i<=k;++i)    {        int d,x,y;        scanf("%d%d%d",&d,&x,&y);        if(x>n||y>n||(d==2&&x==y)) ans++;        else if(!check(d,x,y)) ans++;    }    printf("%d",ans);    return 0;}