克罗内克积 Kronecker product

http://www.docin.com/p-1286196923.html比较详细

如果A是一个 m × n 的矩阵，而B是一个 p × q 的矩阵，克罗内克积则是一个 mp × nq 的分块矩阵

更具体地可表示为

双线性结合律

克罗内克积是张量积的特殊形式，因此满足双线性与结合律：

其中，A,B和C是矩阵，而k是常量。

克罗内克积不符合交换律：通常，

  

不同于

  

。

 

和

  

是置换等价的，也就是说，存在置换矩阵P和Q，使得

如果A和B是方块矩阵，则

  

和

  

甚至是置换相似的，也就是说，我们可以取P=Q。

混合乘积性质

如果A、B、C和D是四个矩阵，且矩阵乘积AC和BD存在，那么：

这个性质称为“混合乘积性质”，因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出，

  

是可逆的当且仅当A和B是可逆的，其逆矩阵为：

克罗内克和

如果A是n×n矩阵，B是m×m矩阵，

  

表示k×k单位矩阵，那么我们可以定义克罗内克和

  

为：

与抽象张量积

矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地，如果向量空间V、W、X和Y分别具有基{v1, ... , vm}、 {w1, ... , wn}、{x1, ... , xd}和{y1, ... , ye}，且矩阵A和B分别在恰当的基中表示线性变换S:V→X和T:W→Y，那么矩阵A⊗B表示两个映射的张量积S⊗T:V⊗W→X⊗Y，关于V⊗W的基{v1⊗ w1, v1⊗ w2, ... , v2⊗ w1, ... , vm⊗ wn}和X⊗Y的类似基。[2] 

与图的乘积

两个图的邻接矩阵的克罗内克积是它们的张量积图的邻接矩阵。两个图的邻接矩阵的克罗内克和，则是它们的笛卡儿积图的邻接矩阵。[3] 

转置

克罗内克积转置运算符合分配律：