树状数组再进阶（区间修改+区间查询）

今天，我们再在树状数组上进一步突破，我们来讲一讲区间修改和区间查询。同样的，这需要各位对树状数组的基本知识有所了解，大家可以看看我的另一篇文章：树状数组趣解。
下面进入正题。
同样的，我还是先给代码，再讲解。其实，我个人比较喜欢直接看代码，有时，看别人的解释，反而看得稀里糊涂，不如先看看代码，自己会有自己的理解，然后再看解释就不会晕了。（也有可能是某些作者说得太简略了）

代码

有些是以前的代码，但由于会用到，这里可能会再写一遍。

1、lowbit

int lowbit(int x){    return x&(-x);}

2、单点修改

void add(int *C,int x,int p){    while(x<=n){        C[x]+=p;        x+=lowbit(x);    }}

3、前x项之和

int sum(int *C,int x){    int ans=0;    while(x>0){        ans+=C[x];        x-=lowbit(x);    }    return ans;}

4、求真正的前x项和（？？？）

int truesum(int x){    int sum1=x*sum(c1,x),sum2=sum(c2,x);    return sum1-sum2;}

5、区间查询

int query(int l,int r){    return truesum(r)-truesum(l-1);}

6、区间修改

void change(int l,int r,int p){//将[l,r]上每个数加上p    add(c1,l,p);    add(c1,r+1,-p);    add(c2,l,(l-1)*p);    add(c2,r+1,r*(-p));}

在这些代码中，有些变量可能出现的比较突兀，我会在解释中说的。

解释

好，下面是cgg解密时刻！
首先，我先讲一下总体的思路。
我们设A[]是原数组。
接下来我们需要引出一个概念：差分数组。你可能听过，也可能没听过，这都无所谓，我简单介绍一下：
我们设差分数组是C[]，那么有如下定义：

1. C[1]=A[1]
2. C[i]=A[i]-A[i-1]

很好理解吧！
那么我们下面要做一个公式推导。
sum(1,n)
=a[1]+a[2]+a[3]+…+a[n-1]+a[n]
=c[1]+(c[1]+c[2])+…+(c[1]+c[2]+…+c[n])
=n(c[1]+c[2]+…+c[n])-(0c[1]+1c[2]+2c[3]+…+(n-1)c[n]).
这里sum表示前n项之和。
那么我们有什么发现？
我们可以设置两个树状数组，一个是c1[]表示差分数组，另一个c2[]则是c2[i]=(i-1)*c1[i]。这样的话，我们就可以区间查询了。
那么我们又是怎么实现区间修改的呢？
其实也很简单，我们看一下change()函数，有什么发现？
我们会发现，它对于两个数组，每个只改了头尾两个值，为什么？
这就要回到我们的定义，我们的两个树状数组均可以算的上是差分数组（c2也有差分的意味），所以，试想一下，如果我们对区间[l,r]上的每个数都加上p，那么c1[l+1]到c1[r]会发生变化吗？不会！因为区间内的每个数都加了p，所以他们之间的差是不变的，所以我们只需要改变两头的差值即可，这样就是实现了区间修改。
再稍微辨析一下3和4两段代码，两个都是前几项和，但3求的是树状数组前几项和，而4才是原数组的前几项和，也是我们要求的。

结束语

这样的话，我们的树状数组估计一时半会不会再进阶了，希望各位能多温习，回头我会给大家找几道习题练手。
剧透：接下来可能要讲线段树！