cf/Codeforces Gym 100548F Color (2014年西安站F题） （容斥原理）

题目大意：直线上给n个物品染色，一共有m种颜色，求恰好用了k种颜色的染色方案数解析：首先选出k种颜色，选法C（m,k）, 那么对于不超过k种颜色的涂色方案数为 f[k]= k*(k-1)^(n-1) 表示第一个有k种选择，后面的全都是k-1种选择 。  这里面包含了  k=1,2,3,......k的全部情况ps: 最开始智障了，觉得f[k]-f[k-1]不显然就是答案了吗。。nc啊。。。ps: 明显在选出了k种颜色的条件下，f[k]为不超过k种颜色的所有方案，那么就是要减去不超过k-1种颜色的所有方案，但是k种颜色里选k-1种又有一个 C（k,k-1），所以应该减去的是C（k,k-1）*f(k-1)，而显然这样f(k-2)那些又会被减掉了需要加回来，加加减减就是一眼容斥原理啦已选出k种颜色后，那么对于最后涂了不超过i种（2<=i<=k-1）颜色的方案数为g[i]=  C（k,i）* i*（i-1）^（n-1）所以对于选出来的k种颜色下，我们要染恰好k个颜色的合法方案数应该为ans[k]= f[k] -g[k-1] +g[k-2]-g[k-3]........ 最后答案为 c(m,k)*ans[k] 由于算g[i]之和时要用到一个c[k]【i】然后最后算答案要求一个C【m】【k】p又特别大 （1e9+7）lucas预处理p的那种肯定不行，直接算的单case的又太慢了注意到C几几的第二项比较小，只有k，则可以用O（K）去算出所有的组合数，公式：c(n,k+1)=c(n,k)*(n-k)/(1+k) 那么就预处理1到k的逆元整体复杂度O（K）

    #include<iostream>      #include<cstdio>      #include<algorithm>      using namespace std;      typedef long long  ll;      const ll p =1000000007;      ll fast_m(ll a,ll b)      {          ll x,ans=1;          x=a;          while(b)          {              if (b&1)                  ans=(ans*x)%p;              x=(x*x)%p;              b/=2;          }          return ans;      }      ll n,m,k;      ll inv[1000000+5];      void Init_inv()      {          for(int i = 1; i < 1e6+50; i++)              inv[i] = fast_m(i, p - 2);      }      ll c[1000000+50];      void cal(ll n)      {          c[0] = 1;          for(int i = 1; i <= k; i++)              c[i] = ((c[i - 1] * (n - i + 1) % p) * inv[i] % p) % p;      }      ll f(ll k)      {          return k*fast_m(k-1,n-1)%p;      }      int main()      {          Init_inv();          int t;          cin>>t;          int cnt=1;          while(t--)          {              scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);              cal(k);              ll ansk=f(k);              for (int i=2; i<=k-1; i++)              {                  if ((k-i)%2)   ansk=(ansk-c[i]*f(i)%p )%p;                  else ansk=(ansk+ (c[i]*f(i)) %p) %p;              }              cal(m);              printf("Case #%d: %lld\n",cnt++, (c[k]*ansk%p+p)%p);          }          return 0;      }