2014 xi'an Problem F. Color (Gym 100548F) 容斥原理

来源：互联网发布：淘宝上有名的女装店编辑：程序博客网时间：2024/05/16 19:40

题意：给出n个需要涂色的格子排成一列，有m种颜色，需要从中选出k种颜色，使得任意两个相邻格子不同色。

(n、m<=1e9,k<=1e6)

解法：

容斥原理，首先能想到计算C(m,k),之后考虑的问题是现在用恰好k种颜色去涂色。

首先k*pow(k-1,n)表示的是至多用k种颜色的种数，然后如果想得到恰好用k种颜色的方案数，就用容斥原理，奇加偶减。

#include<cstdio>#include<string>#include<cstring>#include<iostream>#include<cmath>#include<algorithm>#include<vector>using namespace std;#define all(x) (x).begin(), (x).end()#define for0(a, n) for (int (a) = 0; (a) < (n); (a)++)#define for1(a, n) for (int (a) = 1; (a) <= (n); (a)++)#define mes(a,x,s)  memset(a,x,(s)*sizeof a[0])#define mem(a,x)  memset(a,x,sizeof a)#define ysk(x)  (1<<(x))typedef long long ll;typedef pair<int, int> pii;const int INF =0x3f3f3f3f;const int maxK=1e6+0.5 ;const ll mod=1e9+7;ll N,M,K;ll inv[maxK+10],C[maxK+10];ll qb(ll a,ll n){    ll ans=1;    while(n)    {        if(n&1) ans=ans*a%mod;        a=a*a%mod;        n>>=1;    }    return ans;}void pre(){    C[0]=1;    for1(i,K)//C(K,i)    {         C[i]=C[i-1]*(K-i+1)%mod*inv[i]%mod;    }}ll calC(ll n,ll m){    ll ans=1;    for1(i,m)    {        ans=ans*(n-i+1)%mod*inv[i]%mod;    }    return ans;}void solve(){    ll ans=0,ret=1;    pre();    for(int i=K;i>=1;i--)    {        ans+=ret*C[i]*i%mod*qb(i-1,N-1)%mod;        ans=(ans%mod+mod)%mod;        ret*=-1   ;    }    ans*=calC(M,K);    ans=(ans%mod+mod)%mod;    printf("%lld\n",ans);}void init(){    inv[0]=1;    for1(i,maxK)  inv[i]=qb(i,mod-2);}int main(){   std::ios::sync_with_stdio(false);   init();   int T,kase=0;cin>>T;   while(T--)   {       cin>>N>>M>>K;       printf("Case #%d: ",++kase);       pre();       solve();   }   return 0;}

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