11.1 BSGS BZOJ 3239+2242

懒惰又有强迫症的KAKAYZ又来了。
我就知道DAY1一定是效率最高的，但愿可以坚持下去吧。
BSGS处理的是未知系数为指数的模意义方程，我就在这里简单推一推吧。
妈呀第一次用LaTeX还得慢慢学好麻烦哦>_<
以下所有推导均在modn意义下进行，式中不再注明。
首先是原方程

ax=b

根据欧拉定理，我们知道

aphi(n)=1

当然问题中n一般为素数，所以

phi(n)=n−1

所以在模意义下方程如果存在解，那么

x∈{0,1,⋯,n−2}

如果枚举，那么毫无疑问这个复杂度是O(n)，所以这就是BSGS算法大展身手的时候了。
首先我们定义一个m，设解

x=k∗m+t

,先计算出a0,a1,⋯,am−1,并且开一个map，map[ai]=i，可以把这个理解为x=k∗m+t式中的t部分，之后我们枚举k。
毫无疑问如果k是当前值，那么移项可得

at=b∗a−k∗m

看到这里相信所有人都没问题了吧，很简单就能知道当m=n−√复杂度最优，共计O(n−√∗logn√)

上代码：

BZOJ 3239

/**************************************************************    Problem: 3239    User: jialiang2508    Language: C++    Result: Accepted    Time:248 ms    Memory:3416 kb****************************************************************/#include <cstdio>#include <iostream>#include <map>#include <cmath>#define ll long longusing namespace std;int ty,tz,tp;map<ll,int>mp;ll power(ll a,ll b,ll p){    int res=1;    while(b){        if(b&1)res=res*a%p;        a=a*a%p,b>>=1;    }    return res;}int bsgs(ll a,ll b,ll p){    a%=p;    mp.clear();    if(!a){        if(!b)return 1;        else return -1;    }    int m=(int)ceil(sqrt((double)p));    ll e=1,v=power(a,p-m-1,p);    for(int i=1;i<m;i++){        e=e*a%p;        mp[e]=i;    }    for(int i=0;i<m;i++){        if(b==1)return i*m;        if(mp[b])return i*m+mp[b];        b=b*v%p;    }    return -1;}int main(){    //freopen("txt.in","r",stdin);freopen("txt.out","w",stdout);    while(~scanf("%d %d %d\n",&tp,&ty,&tz)){        int temp=bsgs(ty,tz,tp);        if(temp==-1)printf("no solution\n");        else printf("%d\n",temp);    }    return 0;}

BZOJ 2242

/**************************************************************    Problem: 2242    User: jialiang2508    Language: C++    Result: Accepted    Time:2212 ms    Memory:2816 kb****************************************************************/#include <cstdio>#include <cmath>#include <map>#define ll long longusing namespace std;map<ll,int>mp;int n,opt;ll ty,tz,tp;ll power(ll a,ll b,ll p){    ll res=1;    while(b){        if(b&1)res=res*a%p;        a=a*a%p,b>>=1;    }    return res;}void solve1(ll y,ll z,ll p){printf("%lld\n",power(y,z,p));}void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){    if(!b){        x=1,y=0,d=a;return ;    }    exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=a/b*x;}void solve2(ll a,ll z,ll b){    ll d,x,y;    exgcd(a,b,d,x,y);    if(z%d!=0){        printf("Orz, I cannot find x!\n");        return ;    }    x=x*(z/d)%(b/d);    printf("%lld\n",(x+b/d)%(b/d));}void solve3(ll a,ll b,ll p){    a%=p;    mp.clear();    if(!a){        if(!b)printf("1\n");        else printf("Orz, I cannot find x!\n");        return ;    }    int m=(int)ceil(sqrt((double)p));    ll e=1,v=power(a,p-m-1,p);    for(int i=1;i<m;i++){        e=e*a%p;        if(!mp[e])mp[e]=i;    }    for(int i=0;i<m;i++){        if(b==1){printf("%lld\n",(ll)i*m);return ;}        if(mp[b]){printf("%lld\n",(ll)i*m+mp[b]);return ;}        b=b*v%p;    }    printf("Orz, I cannot find x!\n");}int main(){    //freopen("txt.in","r",stdin);freopen("txt.out","w",stdout);    scanf("%d %d\n",&n,&opt);    for(int i=1;i<=n;i++){        scanf("%lld %lld %lld\n",&ty,&tz,&tp);        if(opt==1)solve1(ty,tz,tp);        if(opt==2)solve2(ty,tz%tp,tp);        if(opt==3)solve3(ty,tz,tp);    }    return 0;}