【noip2014普及】子矩阵

题目描述

给出如下定义：

子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。
例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个2*3的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。
本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及T4)

输入输出格式

输入格式：
第一行包含用空格隔开的四个整数n，m，r，c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

输出格式：
输出共1行，包含1个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

输入输出样例

输入样例#1： 复制
5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1
输出样例#1： 复制
6
输入样例#2： 复制
7 7 3 3
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2
2 9 5 5 6 1 7
7 9 3 6 1 7 8
1 9 1 4 7 8 8
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6
输出样例#2： 复制
16
说明

【输入输出样例1说明】

该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成，为

6 5 6

7 5 6

，其分值为

|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。

【输入输出样例2说明】

该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为

9 7 8 9 8 8 5 8 10

【数据说明】

对于50%的数据，1 ≤ n ≤ 12，1 ≤ m ≤ 12，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20；

对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 16，1 ≤ m ≤ 16，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000，

1 ≤ r ≤ n，1 ≤ c ≤ m。

先暴力出所有的行的可能情况，然后dp列
线性dp
f[i][j]从前i列中选j列的最小值
dis[i]第i列上下相邻两个数字之差的绝对值之和
delta[i][j]第i列和第j列之差的和(只是行的差)
f[i][j]=min f[i][j] f[k][j-1]+delta[k][i]+dis[i] (j-1<=k<=i-1)
就是考虑第i个位置放或不放
边界f[i][i] f[i][1]
/线性dp：就是把一个点单独拿出来考虑：即i点的放与不放的问题/

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;int n,m,r,c,matrix[20][20];int f[20][20],dis[20],delta[20][20];int a[20]; bool b[20];int ans=0x7fffffff;int abs(int x) {return x>0?x:-x;}void dp()//从m列中选c列 {    memset(f,0x7f,sizeof(f));//不要忘记每次初始化    memset(dis,0,sizeof(dis));    memset(delta,0,sizeof(delta));    for (int j=1; j<=m; j++)//在dp前预处理dis delta        for (int i=1; i<=r-1; i++)            dis[j]+=abs(matrix[a[i]][j]-matrix[a[i+1]][j]);    for (int i=1; i<=m-1; i++)        for (int j=i+1; j<=m; j++)            for (int k=1; k<=r; k++)                delta[i][j]+=abs(matrix[a[k]][i]-matrix[a[k]][j]);//delta是有序的     for (int i=1; i<=m; i++) f[i][1]=dis[i];//初始化     for (int i=1; i<=m; i++)    {        for (int j=2; j<=min(i,c); j++)//j从2开始循环         {            for (int k=j-1; k<=i-1; k++)//注意k的循环范围                 f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+dis[i]+delta[k][i]);                /*线性dp：就是把一个点单独拿出来考虑：即i点的放与不放的问题*/        }    }    for (int i=c; i<=m; i++)        ans=min(ans,f[i][c]);//最优值应该从什么地方选取？}void dfs(int num)//生成所有行的可能 {    if (num==r+1) {dp(); return;}    for (int i=1; i<=n; i++)        if (!b[i]&&a[num-1]<i)        {            b[i]=true;            a[num]=i;            dfs(num+1);            b[i]=false;        }}int main(){    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);    for (int i=1; i<=n; i++)        for (int j=1; j<=m; j++)            scanf("%d",&matrix[i][j]);    dfs(1);    printf("%d",ans);    return 0;}