【NOIP2014】洛谷2258 子矩阵

题目描述

给出如下定义：

子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个2*3的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及T4) 输入输出格式 输入格式：

第一行包含用空格隔开的四个整数n，m，r，c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

输出格式：

输出共1行，包含1个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

如果直接枚举行和列的话，复杂度C(16/2,16)^2无法承受。但是如果只枚举行的话，是可以承受的。
枚举行之后，对于列dp就很简单了。预处理之后复杂度可以做到O(m^3)。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int oo=0x3f3f3f3f;bool use[20];int a[20][20],dp[20][20],self[20],dif[20][20],n,m,r,c,ans=oo;void solve(){    int i,j,k,last;    for (i=1;i<=m;i++)    {        last=-1;        self[i]=0;        for (j=1;j<=n;j++)        {            if (!use[j]) continue;            if (last!=-1) self[i]+=abs(a[j][i]-last);            last=a[j][i];        }    }    for (i=1;i<=m;i++)      for (j=i+1;j<=m;j++)      {        dif[i][j]=0;        for (k=1;k<=n;k++)        {            if (!use[k]) continue;            dif[i][j]+=abs(a[k][i]-a[k][j]);        }      }    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));    dp[0][0]=0;    for (i=1;i<=m;i++)      for (j=1;j<=c&&j<=i;j++)        for (k=0;k<i;k++)          dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+self[i]+dif[k][i]);    for (i=c;i<=m;i++)      ans=min(ans,dp[i][c]);}void dfs(int p,int now){    if (p==n+1)    {        solve();        return;    }    if (n-p+now>=r)      dfs(p+1,now);    if (now+1<=r)    {        use[p]=1;        dfs(p+1,now+1);        use[p]=0;    }}int main(){    int i,j;    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);    for (i=1;i<=n;i++)      for (j=1;j<=m;j++)        scanf("%d",&a[i][j]);    dfs(1,0);    printf("%d\n",ans);}