noip2014 子矩阵 (动态规划+位运算)
来源:互联网 发布:sdcms 域名未授权 编辑:程序博客网 时间:2024/05/29 08:28
描述
给出如下定义:
- 子矩阵:从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵(保持行与 列的相对顺序)被称为原矩阵的一个子矩阵。
例如,下面左图中选取第 2、4 行和第 2、4、5 列交叉位置的元素得到一个 2*3 的子矩阵如右图所示。 - 相邻的元素:矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素(如果存在的话)是相邻的。
- 矩阵的分值:矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。
本题任务:给定一个 n 行 m 列的正整数矩阵,请你从这个矩阵中选出一个 r 行 c 列的 子矩阵,使得这个子矩阵的分值最小,并输出这个分值。
格式
输入格式
第一行包含用空格隔开的四个整数 n,m,r,c,意义如问题描述中所述,每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来的 n 行,每行包含 m 个用空格隔开的整数,用来表示问题描述中那个 n 行 m 列的矩阵。
输出格式
输出共 1 行,包含 1 个整数,表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。
样例1
样例输入1[复制]
5 5 2 39 3 3 3 99 4 8 7 41 7 4 6 66 8 5 6 97 4 5 6 1
样例输出1[复制]
6
样例2
样例输入2[复制]
7 7 3 37 7 7 6 2 10 55 8 8 2 1 6 22 9 5 5 6 1 77 9 3 6 1 7 81 9 1 4 7 8 810 5 9 1 1 8 101 3 1 5 4 8 6
样例输出2[复制]
16
限制
对于 50%的数据,1 ≤ n ≤ 12, 1 ≤ m ≤ 12, 矩阵中的每个元素 1 ≤ a[i][j] ≤20;
对于 100%的数据,1 ≤ n ≤ 16, 1 ≤ m ≤ 16, 矩阵中的每个元素 1 ≤ a[i][j] ≤1000,1 ≤ r ≤ n, 1 ≤ c ≤ m。
时间限制:每一组测试数据1s。
提示
【输入输出样例 1 说明】
该矩阵中分值最小的 2 行 3 列的子矩阵由原矩阵的第 4 行、第 5 行与第 1 列、第 3 列、 第 4 列交叉位置的元素组成,为
675566
,其分值为 |6 − 5| + |5 − 6| + |7 − 5| + |5 − 6| + |6 − 7| + |5 − 5| + |6 − 6| = 6。
【输入输出样例 2 说明】
该矩阵中分值最小的 3 行 3 列的子矩阵由原矩阵的第 4 行、第 5 行、第 6 行与第 2 列、第 6 列、第 7 列交叉位置的元素组成,选取的分值最小的子矩阵为
9957888810
来源
NOIP2014 普及组
基本思路:先确定行,再对列进行动态规划。
1.假设 n=3,r=2,以二进制来表示每一行,则:
0 1 1 :表示选定1、2行
1 0 1 :表示选定1、3行
1 1 0 :表示选定2、3行
可以看到,所有的情况即为在长度为 n 的二进制中,存在 r 个 1 的情况。
这就让我想起了曾经做过的 poj2435,题意是这样的:给定一个数 x,求与 x 在二进制下含有相同个数的 1 的数中最小的数。
正好适合这道题。代码见下:
x=n&(-n),t=n+x;
ans=t|((n^t)/x)>>2;
此代码详细解析:http://blog.csdn.net/w57w57w57/article/details/6657547
2.确定行,对列进行动态规划。
用 f[i][j] 表示以第 i 列结尾的 r 行 j 列的子矩阵的最优值,则:
初始化 f[i][1]
f[i][j]=max{f[k][j-1]+f[i][1]+get(k,i)}
代码:
#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>#include<algorithm>#define maxn 16using namespace std;int n,m,r,c,a[maxn+5][maxn+5];int b[maxn+5],f[maxn+5][maxn+5];int ans=2000000000;void work(int s){ int i,j,k,x,p; for(b[0]=i=0;i<n;i++) if(s&(1<<i))b[++b[0]]=i+1; memset(f,90,sizeof(f)); for(i=1;i<=m;i++) for(f[i][1]=0,j=2;j<=b[0];j++) f[i][1]+=abs(a[b[j]][i]-a[b[j-1]][i]); for(j=2;j<=c;j++) for(i=j;i<=m;i++) for(k=j-1;k<i;k++) { for(x=0,p=1;p<=b[0];p++)x+=abs(a[b[p]][k]-a[b[p]][i]); f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+f[i][1]+x);} for(i=c;i<=m;i++)ans=min(ans,f[i][c]);}int main(){ int i,j,k; scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c); for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]); int s=0,e=0,x,t; for(i=0;i<r;i++)s=s|(1<<i); for(i=n-r;i<n;i++)e=e|(1<<i); while(s<=e) { work(s); x=s&(-s),t=s+x; s=t|((s^t)/x)>>2; } printf("%d\n",ans); return 0;}
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